Question

Доведіть, що функція g(x)=4-2x+1/2x²-1/3x³ спадає на R

Answer 1

g(x) = 4 - 2x + 1/2·x²- 1/3·x³

g'(x) = (4 - 2x + 1/2·x²- 1/3·x³)' = -2 + x - x²;

g'(x) = 0;

-2 + x - x² = 0;

x² - x + 2 = 0

D = b² - 4ac = 1 - 8 = -7;

Оскільки D < 0, то x² - x + 2 < 0 при будь яких дійсних значеннях аргументу.

Отже, g'(x) < 0 при x ∈ R, а отже функція g(x) спадає при x ∈ R.

Answer 2

Для доведення, що функція g(x)=4-2x+1/2x²-1/3x³ спадає на R, потрібно показати, що її похідна є від'ємною на всьому діапазоні дійсних чисел.

Для цього спочатку знайдемо похідну g'(x):

g'(x) = -2 + x - x²

Тепер з'ясуємо, коли ця похідна є від'ємною. Для цього розв'яжемо нерівність:

g'(x) < 0

-2 + x - x² < 0

x² - x + 2 > 0

Дискримінант цього квадратного рівняння є від'ємним:

D = (-1)² - 412 = -7

Отже, це рівняння не має дійсних коренів, тобто не існує жодного значення x, при якому похідна g'(x) буде додатньою. Це означає, що функція g(x) є спадною на всьому діапазоні дійсних чисел.

Отже, функція g(x)=4-2x+1/2x²-1/3x³ спадає на R.