Question

Решите задачу простым, легким  и понятным способом из города А и  В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 12 часов раньше , чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 2 часа 30 мин после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист.

Answer 1

Пусть велосипедист потратил на дорогу Х часов. Тогда мотоциклист потратил Х-12. На момент встречи, каждый из них уже был в дороге 2,5 часа. За эти два с половиной часа мотоциклист проехал то расстояние, которое велосипедист должен был бы проехать за Х-2,5 часов. S=v*t, скорость велосипедиста v, мотоциклиста v₁.
$(x-2,5)v=2,5v_1\\ v_1= \frac{(x-2,5)v}{2,5}$
То есть, скорость мотоциклиста в $\frac{x-2,5}{2,5}$ раза выше. Приравняем теперь полное расстояние между пунктами А и В. Время в пути для велосипедиста Х, для мотоциклиста Х-12, скорость велосипедиста v, скорость мотоциклиста - $\frac{v(x-2,5)}{2,5}$ , S=t*v.
$xv= \frac{(x-12)v(x-2,5)}{2,5} ||* \frac{5}{v} \\5x=2(x-12)(x-2,5)\\ 5x=(x-12)(2x-5)\\ 5x=2x^2-12x-5x+60\\ 2x^2-12x-5x-5x+60=0\\ 2x^2-22x+60=0\\ x^2-11x+30=0;\\ x_1=5; x_2=6.$
  $xv= \frac{(x-12)v(x-2,5)}{2,5} ||* \frac{5}{v} \\5x=2(x-12)(x-2,5)\\ 5x=(x-12)(2x-5)\\ 5x=2x^2-5x-24x+60\\ 2x^2-24x-5x-5x+60=0\\ 2x^2-34x+60=0\\ x^2-17x+30=0;\\x_1=15; x_2=2.$
Второй корень противоречит смыслу задачи - время в пути для мотоциклиста (2-12=-10) получается отрицательным.
Следовательно, велосипедисту на дорогу из В в А нужно 15 часов.
Проверка: Скорость мотоциклиста в $\frac{x-2,5}{2,5}= \frac{15-2,5}{2,5} = \frac{12,5}{2,5}=5$ раз выше скорости велосипедиста. Следовательно, на дорогу ему нужно впятеро меньше времени. 15/5=3, 15-12=3. Ответ верен.
Ответ: 15 часов.

Answer 2

Пусть $d$ - расстояние между городами А и В, $s_m$ - скорость мотоциклиста, $s_v$ - скорость велосипедиста, и $t_v$ - время, которое потратил велосипедист на путь из В в А.

Так как мотоциклист приехал в В на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в А, то время, которое потратил мотоциклист на путь из А в В, можно выразить как $t_v + 12$.

Мы знаем, что мотоциклист и велосипедист встретились через 2 часа 30 мин после выезда, то есть суммарное время их движения равно $t_v + t_m = 2.5$ часа.

Также мы знаем, что расстояние между городами равно скорости умноженной на время, то есть $d = s_m \cdot (t_v + 12)$ и $d = s_v \cdot t_v$.

Из этих уравнений можно выразить скорость мотоциклиста через скорость велосипедиста и время, потраченное велосипедистом на путь: $s_m = s_v \cdot \frac{d}{s_v \cdot (t_v + 12)} = \frac{d}{t_v + 12}$.

Подставляем это выражение для $s_m$ в уравнение для суммарного времени движения и решаем относительно $t_v$:

$t_v + \frac{d}{t_v + 12} = 2.5$

$t_v^2 + 12t_v + \frac{d}{2.5} = 0$

Решая это квадратное уравнение относительно $t_v$, получаем:

$t_v = \frac{-12 + \sqrt{144 - 4d/2.5}}{2} = \frac{-6 + \sqrt{36 - 0.16d}}{1}$

Так как $t_v$ - это время в часах, то ответом на вопрос задачи будет значение $t_v$, полученное при подстановке известного значения $d$. Например, если $d=100$ км, то $t_v = \frac{-6 + \sqrt{36 - 0.16\cdot 100}}{1} \approx 3.28$ часа.