Question

Объясните, почему не существует натуральных чисел a и b таких, что 152a+134b=12345 желательно письменно

Answer 1

Сумма данных чисел будет всегда четным числом, т.к. 152 и 134 четные числа а произведение любого числа с четным числом будет всегда четное число.
Сумма двух четных чисел тоже четное число. 
А 12345 - это нечетное число.

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться алгоритмом Евклида и свойством наибольшего общего делителя.

Итак, имеем уравнение:

152a + 134b = 12345

Найдем наибольший общий делитель чисел 152 и 134:

gcd(152, 134) = gcd(152 - 134, 134) = gcd(18, 134) gcd(18, 134) = gcd(134 - 7 * 18, 18) = gcd(8, 18) gcd(8, 18) = gcd(18 - 2 * 8, 8) = gcd(2, 8) gcd(2, 8) = gcd(8 - 4 * 2, 2) = gcd(0, 2) = 2

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 152 и 134 равен 2.

Заметим также, что число 12345 не кратно 2, так как оно не четное.

Из свойства наибольшего общего делителя следует, что если уравнение имеет решение в целых числах, то число 12345 должно быть кратно gcd(152, 134) = 2.

Однако мы уже установили, что число 12345 не кратно 2. Следовательно, уравнение 152a + 134b = 12345 не имеет решений в целых числах a и b.

Таким образом, можно заключить, что не существует натуральных чисел a и b таких, что 152a + 134b = 12345.