Question

При будь-якому n суму n перших членів деякої арифметичної прогресії можна обчислити за формулою Sn=n^2 + 3n. Знайдіть різницю цієї прогресії

Answer 1

S1=1+3=4=a1

2a1+d(n–1)
Sn = ---------------- • n
2


8+d(n–1)
--------------- • n = n^2 + 3n |•2
2

n•(8+dn–d) = 2•(n^2+3n)
8n+dn^2–dn = 2n^2 + 6n
2n^2–dn^2+dn–2n = 0
2n(n–1)–dn(n–1) = 0
(n–1)(2n–dn) = 0
n–1=0; 2n–dn = 0
n=1; n(2–d) = 0
n=0; 2–d=0
d=2
Ответ: d=2

Answer 2

Знаємо, що сума перших n членів арифметичної прогресії дорівнює Sn = n(a1 + an) / 2, де a1 - перший член прогресії, а an - n-й член прогресії.

Але згідно з умовою, Sn = n^2 + 3n, отже, маємо:

n(a1 + an) / 2 = n^2 + 3n

a1 + an = 2n + 3

З іншого боку, різниця між будь-якими двома сусідніми членами арифметичної прогресії дорівнює d, тому

an - a1 = (n-1)d

Застосуємо отримані вище рівності та підставимо an = a1 + (n-1)d:

a1 + (a1 + (n-1)d) = 2n + 3

2a1 + (n-1)d = 2n + 3

Або

d = (2n + 3 - 2a1) / (n-1)

Отже, різниця арифметичної прогресії дорівнює (2n + 3 - 2a1) / (n-1).