Question

Решите неравенство log с основой 3(x+2)<1

Answer 1

Логарифмические уравненияУравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение видаloga x = b.(1)Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.Пример 1. Решить уравнения:a) log2 x = 3,       b) log3 x = -1,       c) Решение. Используя утверждение 1, получим 
a) x = 23 или x = 8;     b) x = 3-1 или x = 1/3;     c)  или x = 1.Приведем основные свойства логарифма.P1. Основное логарифмическое тождество:где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:loga N1·N2 = loga N1 + loga N2       (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет видloga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2|       (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя       (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид       (a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:loga N k = k loga N         (a > 0, a ≠ 1, N > 0).Замечание. Если k - четное число (k = 2s), тоloga N 2s = 2s loga |N|       (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).P5. Формула перехода к другому основанию:       (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),в частности, если N = b, получим      (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).(2)Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства      (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),(3)          (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),(4)        (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),(5)и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место        (b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).(6)Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 Þ loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2  Þ loga x1 > loga x2).loga 1 = 0 и loga a = 1     (a > 0, a ≠ 1).Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+¥), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+¥).Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x)     (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)f(x) = g(x),       f(x) = g(x),f(x) > 0,g(x) > 0.Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из системf(x) = g(x),        f(x) = g(x),h(x) > 0,h(x) > 0,h(x) ≠ 1,h(x) ≠ 1,f(x) > 0,g(x) > 0.

Answer 2

Начнем с переписывания неравенства в эквивалентной форме без логарифма:

log₃(x+2) < 1

3¹ < x+2 ≤ 3¹

x+2 > 3¹

x > 1

Таким образом, решением данного неравенства является любое число x больше 1. Общая форма ответа: x > 1.