Question

Помогите решить cos²2α + 4sin²α * cos²α

Answer 1

=cos²2α+(2sinα×cosα)²=cos²2α+sin²2α=1

Answer 2

Используя формулу двойного угла для функции cos(2α), получим:

cos²2α = (cos²α - sin²α)² = cos²α - 2sin²αcos²α + sin⁴α

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

4sin²α * cos²α = 2 * 2sin²α * cos²α = 2sin²2α

Заменим sin²2α через cos²2α:

2sin²2α = 2(1 - cos²2α) = 2 - 2cos²2α

Таким образом, выражение cos²2α + 4sin²α * cos²α сводится к следующему:

cos²2α + 4sin²α * cos²α = cos²α - 2sin²αcos²α + sin⁴α + 2 - 2cos²2α

Сгруппируем слагаемые:

cos²2α + 4sin²α * cos²α = sin⁴α - 2sin²αcos²α - 2cos²2α + 2 + cos²α

Теперь применим формулу суммы косинусов для нахождения cos²2α:

cos²2α = (cos2α + 1)/2 = (cos²α - sin²α + 1)/2 = (1 + cos²α + sin²α)/2 = (1 + cos²α)

И подставим это значение в исходное выражение:

cos²2α + 4sin²α * cos²α = sin⁴α - 2sin²αcos²α - 2(1 + cos²α) + 2 + cos²α

Теперь разложим выражение sin⁴α на множители:

sin⁴α = (sin²α)² = (1 - cos²α)² = 1 - 2cos²α + cos⁴α

Подставим это значение:

cos²2α + 4sin²α * cos²α = 1 - 2cos²α + cos⁴α - 2sin²αcos²α - 2 - 2cos²α + cos²α

Упростим:

cos²2α + 4sin²α * cos²α = cos⁴α - 3cos²α - 2sin²αcos²α - 1

Таким образом, мы получили окончательное упрощенное выражение для cos²2α + 4sin²α * cos²α:

cos²2α + 4sin²α * cos²α = cos⁴α - 3cos²α - 2sin²αcos²α - 1