Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить график y=x^4-4x-4

Answer 1

.........................................

Answer 2

Для исследования функции с помощью производной сначала найдем ее производную:

y' = 4x^3 - 4

Затем найдем точки, где производная равна 0, то есть где у функции есть экстремумы:

4x^3 - 4 = 0 x^3 = 1 x = 1, -1, 0

Проверим знак производной в окрестности каждой из найденных точек:

• при x < -1 производная отрицательна, значит, функция убывает;
• при -1 < x < 0 производная положительна, значит, функция возрастает;
• при 0 < x < 1 производная отрицательна, значит, функция убывает;
• при x > 1 производная положительна, значит, функция возрастает.

Таким образом, мы нашли точки экстремума в x = -1 и x = 1. Чтобы понять, являются ли они максимумами или минимумами, необходимо проанализировать знак второй производной:

y'' = 12x^2

y''(x) > 0 при любом x, значит, обе точки являются точками минимума.

Теперь найдем точки пересечения графика функции с осью OX:

x^4 - 4x - 4 = 0

Найти аналитическое решение этого уравнения довольно сложно, поэтому воспользуемся графическим методом. Построим график функции:

Из графика видно, что функция пересекает ось OX в трех точках, приблизительно равных -1, 0 и 2. Теперь мы можем построить полный график функции: