Question

Помогите решить уравнение: 6cos²x+4sinxcosx=1

Answer 1

Разделим обе части уравнения на cos²x≠0 (если cosx=0, то подставляя в исходное уравнение, получим 0=1, что неверно)

получаем
6+4tgx=1/cos²x

6+4tgx=1+tg²x

tg²x-4tgx-5=0

сделаем замену
y=tgx

y²-4y-5=0
D=4²-4*1*(-5)=36
y1,2=(4±6)/2=2±3

tgx=-1 и tgx=5

откуда

x= -П/4+Пn, n целое,
и
x= arctg 5+Пm, m целое

Answer 2

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать выражение в более простой форме. Напомним, что:

• cos²x + sin²x = 1 (тождество Пифагора)
• sin2x = 2sinxcosx

Применяя эти тождества, мы можем переписать уравнение как:

6cos²x + 4sinxcosx = 1 6cos²x + 2sin2x = 1 (используя тождество sin2x) 6cos²x + 2(2sinxcosx) = 1 (подставляем sin2x = 2sinxcosx) 6cos²x + 4sinxcosx - 1 = 0

Теперь это уравнение квадратное относительно cosx. Мы можем решить его, используя общую формулу для квадратного уравнения:

cosx = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a

где a = 6, b = 4sinx, и c = -1. Подставляя эти значения, мы получаем:

cosx = [-4sinx ± sqrt((4sinx)² - 4(6)(-1))] / 2(6) cosx = [-2sinx ± sqrt(9sin²x + 1)] / 3

Таким образом, уравнение имеет два решения:

cosx = (-2sinx + sqrt(9sin²x + 1)) / 3 cosx = (-2sinx - sqrt(9sin²x + 1)) / 3

Оба решения можно проверить, подставив их обратно в исходное уравнение.