Question

Даны два числа z1=√7+√10, z2=√3+√19. Установить, не производя вычисление корней, какое из корней больше

Answer 1

Z2 больше, так корень из 19 это чуть больше 4

Answer 2

Для сравнения двух корней, можно возвести каждый из них в квадрат, так как квадратный корень является монотонной функцией на неотрицательных числах. То есть, если a > b ≥ 0, то √a > √b.

Используя этот подход, мы можем возвести каждое из чисел в квадрат:

z1^2 = (√7 + √10)^2 = 7 + 2√7√10 + 10 = 17 + 2√70

z2^2 = (√3 + √19)^2 = 3 + 2√3√19 + 19 = 22 + 2√57

Теперь мы можем установить, какое из чисел больше, сравнивая коэффициенты √70 и √57. Поскольку 70 > 57, то √70 > √57. Следовательно,

z1^2 = 17 + 2√70 > 22 + 2√57 = z2^2

Поскольку оба числа неотрицательны, мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон неравенства, чтобы получить:

|z1| > |z2|

Таким образом, модуль z1 больше, чем модуль z2.