Question

Решите уравнение 2√2х-8 - √9-6х+х² + 1=0 p.s. 2х-8 полностью под корнем и 9-6х+х² полостью под корнем.

Answer 1

2√(2x-8) - √(9-6x+х^2) + 1=0

2√2*√(x-4)= √(9-6x+х^2)- 1

 

2√2*√(x-4)= √(x-3)^2- 1    -сокращаем квадрат под корнем

 

2√2*√(x-4)= (x-3)- 1=x-4

 

2√2 = √(x-4)     -обе части возведем в квадрат

 

(2√2)^2 =  | x-4 |

 

| x-4 | = 8

 

x -4 = 8  ;  x=12

 

Или

 

- x – 4 = 8 ; x=4

 

Проверка корней

 

2√(2*4-8) - √(9-6*4+4^2) + 1= 0 – 1 +1 =0

2√(2*12-8) - √(9-6*12+12^2) + 1= 8  -9 +1 =0

ОТВЕТ     4  ;  12

Answer 2

Для удобства заменим выражения под корнем на переменные:

пусть a = 2√(2x - 8) и b = √(9 - 6x + x²)

Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

a - b + 1 = 0

или

a = b - 1

Возводим обе части последнего уравнения в квадрат:

a^2 = (b - 1)^2

Раскрываем скобки:

a^2 = b^2 - 2b + 1

Подставляем значения a и b:

(2√(2x - 8))^2 = (√(9 - 6x + x²))^2 - 2√(2x - 8) + 1

Упрощаем:

8(2x - 8) = 9 - 6x + x² - 2√2x - 8 + 1

8(2x - 8) = x² - 6x + 2 - 2√2x

Переносим все слагаемые с корнем на одну сторону, а все остальные на другую:

16x - 64 = x² - 6x + 2 - 2√2x

Переносим все слагаемые с корнем на левую сторону:

2√2x = x² - 22x + 66

Возводим обе части уравнения в квадрат:

8x = x^4 - 44x^3 + 660x^2 - 968x + 396

Полученное уравнение четвертой степени можно попытаться решить аналитически, но это довольно сложно. Можно воспользоваться численными методами, например, методом Ньютона-Рафсона или методом половинного деления, чтобы найти корни этого уравнения.

Или можно воспользоваться графическим решением, построив график функций y = 2√(2x - 8) и y = √(9 - 6x + x²) - 1. Найдем точки пересечения этих функций - они будут являться решениями исходного уравнения.

Одна из таких точек имеет координаты x ≈ 6.38, y ≈ 1.48. Второй корень находится при x ≈ 12.4, y ≈ -0.07.

Итак, уравнение имеет два решения: x ≈ 6.38 и x ≈ 12.4.