Question

Решите уравнение |||x|−2|−2|=2. В ответе укажите произведение всех решений.

Answer 1

|||x|-2|-2|=2
||x|-2|-2=-2 U ||x|-2|-2=2 
||x|-2|=0 U  |||x|-2|=4
|x|-2=0 U |x|-2=-4 U |x|-2=4
|x|=2 U |x|=-2- нет решения U |x|=6
x=-2 U x=2 U x=-6 U x=6
-2*2*(-6)*6=144 

Answer 2

Начнем с внутренней пары абсолютных значений: ||x|-2|. При x ≥ 2 получаем, что ||x|-2| = |x-2|, а при x < 2 получаем, что ||x|-2| = |2-x|.

Рассмотрим первый случай: ||x|-2| = |x-2|. Тогда уравнение принимает вид:

| |x-2| - 2 | = 2.

Разберем два случая:

1. x ≥ 2. В этом случае |x-2| = x-2, поэтому уравнение переписывается в виде:

| x - 4 | = 2,

откуда x_1 = 6, x_2 = 2.

2. x < 2. В этом случае |x-2| = 2-x, поэтому уравнение переписывается в виде:

| 4 - x | = 2,

откуда x_3 = 2, x_4 = 6.

Рассмотрим второй случай: ||x|-2| = |2-x|. Тогда уравнение принимает вид:

| x + 2 | = 2.

Разберем два случая:

1. x ≥ 0. В этом случае |x+2| = x+2, поэтому уравнение переписывается в виде:

x + 2 = 2,

откуда x_5 = 0.

2. x < 0. В этом случае |x+2| = -(x+2), поэтому уравнение переписывается в виде:

-x - 2 = 2,

откуда x_6 = -4.

Таким образом, все решения уравнения: x_1 = 6, x_2 = 2, x_3 = 2, x_4 = 6, x_5 = 0, x_6 = -4.

Произведение всех решений: x_1 * x_2 * x_3 * x_4 * x_5 * x_6 = 6 * 2 * 2 * 6 * 0 * (-4) = 0.

Ответ: 0.