Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+3;y=x+5

Answer 1

Y=x²+3     y=x+5
x²+3=x+5
x²-x-2=0   D=9
x₁=2      x₂=-1   ⇒
S=₋₁∫²(x+5-x²-3)dx ₋₁∫²(2+x-x²)dx=(2x+x²/2-x³/3) ₋₁|²=
=2*2+2²/2-2³/3-(2*(-1)+(-1)²/2-(-1)³/3)=4+2-8/3-(-2+1/2+1/3)=6-8/3+1,5-1/3=4,5.
Ответ: S=4,5 кв.ед.

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+3 и y=x+5, необходимо найти точки их пересечения, а затем проинтегрировать разность этих функций между этими точками.

Первым шагом найдем точки пересечения двух функций. Приравняем y=x^2+3 и y=x+5 и получим уравнение:

x^2+3 = x+5

x^2-x+2=0

Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: x=2 и x=1. Таким образом, точки пересечения функций имеют координаты (1, 6) и (2, 7).

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими функциями, нужно вычислить определенный интеграл от разности y=x^2+3 и y=x+5 между x=1 и x=2:

∫[1,2] [(x^2+3)-(x+5)] dx

= ∫[1,2] (x^2-x-2) dx

= [1/3 x^3 - 1/2 x^2 - 2x] [1,2]

= [(8/3 - 4 - 4) - (1/3 - 1/2 - 2)]

= -13/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+3 и y=x+5, равна 13/6 квадратных единиц.