Question

Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3

Answer 1

Пусть х - 1-е число. Тогда х+1- последующее число, а (х+1)+1 - 3-е число
х+х+1+х+1+1= 3х+3= 3(х+1)
В любом случае будет делиться на 3, при этом х будет совершенно любое

Answer 2

Пусть три последовательных натуральных числа имеют вид n, n+1 и n+2. Тогда их кубы будут иметь вид n^3, (n+1)^3 и (n+2)^3.

Сумма кубов этих чисел будет:

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3

= n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + ((n+2)^3 - 3(n+2)^2 + 3(n+2) - 1)

= 3n^3 + 12n + 12

= 3(n^3 + 4n + 4)

Заметим, что n^3 + 4n + 4 является целым числом для любого натурального n. Таким образом, мы можем записать сумму кубов в виде произведения 3 на некоторое целое число, что означает, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3.