Question

2sin²2x=9sin2x-4 Решите пожалуйста

Answer 1

Делаем замену y=sin2x, -1≤y≤1
Получаем
2y²=9y-4
2y²-9y+4=0
D=9²-4*2*4=81-32=49
√D=7
y₁=(9-7)/4=1/2
y₂=(9+7)/4=1
sin2x₁=1/2
2x₁=(-1)ⁿπ/6+πn
x₁=(-1)ⁿπ/12 + πn/2
sin2x₂=1
2x₂=π/2+2πn
x₂=π/4+πn
n - целое

Answer 2

Начнем с преобразования уравнения:

2sin²2x = 9sin2x - 4

Заменим sin2x на u:

2u² = 9u - 4

Перепишем уравнение в стандартной квадратичной форме:

2u² - 9u + 4 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью формулы:

u = (9 ± √(9² - 4·2·4)) / (2·2)

u₁ = 4/2 = 2 u₂ = 1/2

Вернемся к замене:

sin2x = 2 или sin2x = 1/2

Решим первое уравнение:

sin2x = 2

Это уравнение не имеет решений, так как значения синуса должны находиться в пределах от -1 до 1.

Теперь решим второе уравнение:

sin2x = 1/2

Разложим синус двойного угла на произведение синусов:

sin2x = sinx·cosx = 1/2

Используем формулу для sin(π/6) и cos(π/6):

sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = √3/2

Таким образом, получаем два решения:

x₁ = π/12 + kπ, где k - любое целое число x₂ = 5π/12 + kπ, где k - любое целое число

Итак, решения исходного уравнения:

x₁ = π/12 + kπ, где k - любое целое число x₂ = 5π/12 + kπ, где k - любое целое число.