Question

Решите уравнение (x^2-5x-4)^2-3(x^3-5x^2-4x)+2x^2=0

Answer 1

(x²-5x-4)²-3(x³-5x²-4x)+2x²=0

Учтём, что (x³-5x²-4x) = х( х² -5х -4)

Теперь введём новую переменную х² -5х -4 = t

Наше уравнение примет вид:

t² -3xt +2x² = 0

решаем относительно переменной t

D = b² -4ac = 9x² - 8x² = x²

t = (3x +- |x|)/2

1) при х ≥ 0                       2) при х < 0

t₁ = 2x     и    t₂= x                 t₃ = x      и     t₄ = 2x

Теперь возвращаемся к нашей подстановке.

x² -5x -4 = 2x                или            x² -5x -4 = x

x² -7x -4 = 0                                     x² -6x -4 = 0

D = 49+16 = 65                                x₃₎₄ =3 +-√13

x₁₎₂ = (7+-√65)/2

Answer 2

Данное уравнение является квадратным относительно выражения (x^2 - 5x - 4). Заметим, что это выражение встречается дважды в уравнении:

(x^2-5x-4)^2 - 3(x^3-5x^2-4x) + 2x^2 = 0 (x^2-5x-4)^2 + 2x^2 - 3(x^3-5x^2-4x) = 0

Обозначим y = x^2 - 5x - 4. Тогда уравнение принимает вид:

y^2 + 2(x^2 - 5x - 4) - 3(x^3 - 5x^2 - 4x) = 0 y^2 + 2y - 3(x^3 - 5x^2 - 4x) = 0

Решим полученное квадратное уравнение относительно y:

D = 4 - 4*(-3)*(x^3 - 5x^2 - 4x) = 12x^3 - 60x^2 - 48x + 16

y1,2 = (-2 ± √D)/2 = -1 ± √(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4)

Обратимся к исходному выражению y = x^2 - 5x - 4 и заменим его на найденные значения:

x^2 - 5x - 4 = -1 + √(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4) или x^2 - 5x - 4 = -1 - √(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4)

Решим каждое из полученных квадратных уравнений:

1. x^2 - 5x - 4 = -1 + √(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4)

x^2 - 5x + 3 = √(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4)

(x^2 - 5x + 3)^2 = 3x^3 - 15x^2 - 12x + 4

3x^3 - 15x^2 - 12x + 4 - (x^2 - 5x + 3)^2 = 0

Решим полученное кубическое уравнение относительно x численно, используя методы численного анализа, например, метод Ньютона.

2. x^2 - 5x - 4 = -1 - √(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4)

x^2 - 5x + 3 = -√(3x^3 - 15x^2 - 12x + 4)

(x^2 - 5x + 3)^2 = 3x^3 - 15x^2 - 12x + 4

3x^3 - 15x^2 - 12x + 4 -