Question

Cosx-sin4x=0 или sinx-cos9x=0 решите одно, второе я поййму и сам сделаю, плиииииз)

Answer 1

$cosx-sin4x=0$
$cosx-2sin2x*cos2x=0$ - разложили sin(4x) по формуле двойного аргумента
$cosx-2*(2sinx*cosx)*(1-2sin^{2}x)=0$ - разложили синус и косинус по формуле двойного аргумента.
$cosx-4sinx*cosx+8sin^{3}x*cosx=0$
$cosx*(1-4sinx+8sin^{3}x)=0$
1)  $cosx=0$
$x= \frac{ \pi}{2}+ \pi k$, k∈Z

2)  $8sin^{3}x-4sinx+1=0$
$8sin^{3}x+(-2sinx-2sinx)+(4sin^{2}-4sin^{2}x)+1=0$
$(8sin^{3}x-2sinx+4sin^{2}x)-2sinx-4sin^{2}x+1=0$
$(8sin^{3}x-2sinx+4sin^{2}x)-(2sinx+4sin^{2}x-1)=0$
$2sinx*(4sin^{2}x-1+2sinx)-(4sin^{2}x-1+2sinx)=0$
$(2sinx-1)*(4sin^{2}x-1+2sinx)=0$
a)  $2sinx-1=0$
    $sinx=0.5$
    $x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi k$
    $x=\frac{ 5\pi }{6}+2 \pi k$
b)  $4sin^{2}x+2sinx-1=0$
Замена:  $sinx=t, -1 \leq t \leq 1$
     $4t^{2}+2t-1=0, D=4+16=20>0$
     $t_{1}= \frac{-2+ \sqrt{20}}{8}=-0.25+\frac{\sqrt{5}}{4}$
     $t_{1}= \frac{-2- \sqrt{20}}{8}=-0.25-\frac{\sqrt{5}}{4}$
     $sinx=-0.25+\frac{\sqrt{5}}{4}$
     $x=(-1)^{k}*arcsin(-0.25+\frac{\sqrt{5}}{4})+2 \pi k$, k∈Z

Answer 2

Решим уравнение cos(x) - sin(4x) = 0.

Можно представить sin(4x) через sin(x) и cos(x) по формуле двойного угла:

scssCopy code
sin(4x) = 2*sin(2x)*cos(2x)
        = 2*2*sin(x)*cos(x)* (cos^2(x) - sin^2(x))
        = 4*sin(x)*cos(x)*(cos^2(x) - sin^2(x))

Подставим это выражение в уравнение:

scssCopy code
cos(x) - 4*sin(x)*cos(x)*(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Раскроем скобки:

scssCopy code
cos(x) - 4*sin(x)*cos^3(x) + 4*sin(x)*cos(x)*sin^2(x) = 0

Вынесем общий множитель cos(x):

scssCopy code
cos(x) * (1 - 4*sin(x)*cos^2(x) + 4*sin(x)*sin^2(x)) = 0

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. cos(x) = 0, откуда x = (k + 1/2)*pi, где k - любое целое число.
2. 1 - 4*sin(x)*cos^2(x) + 4*sin(x)*sin^2(x) = 0.

Второе уравнение кажется сложным для решения, но можно заметить, что оно имеет вид квадратного уравнения относительно sin(x):

scssCopy code
4*sin^2(x) - 4*sin(x)*cos^2(x) + 1 = 0

Решим его стандартным способом:

scssCopy code
D = (-4*cos^2(x))^2 - 4*4*1 = 16*cos^4(x) - 16

sin(x) = (4*cos^2(x) ± sqrt(D)) / (2*4)

scssCopy code
sin(x) = cos^2(x) ± sqrt(cos^4(x) - 1)

Таким образом, второе уравнение имеет два решения:

1. sin(x) = cos^2(x) + sqrt(cos^4(x) - 1).
2. sin(x) = cos^2(x) - sqrt(cos^4(x) - 1).

Решениями исходного уравнения cos(x) - sin(4x) = 0 будут значения x, удовлетворяющие одному из трех уравнений:

1. x = (k + 1/2)*pi, где k - любое целое число.
2. sin(x) = cos^2(x) + sqrt(cos^4(x) - 1).
3. sin(x) = cos^2(x) - sqrt(cos^4(x) - 1).