Question

Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма членов которого равна 243, а сумма первых трех членов равна 171

Answer 1

B1+b2+b3=b1+b1q+b1q^2=171
b1(1+q+q^2)=171
S=b1/1-q
b1/1-q=243
b1=243×(1-q)
243×(1-q)×(q^2+q+1)=171
1^3-q^3=171/243
1-q^3=19/27
q^3=1-19/27=8/27
q=2/3
b1=243*(1-q)=243*(1-2/3)=243*1/3=81

Answer 2

S=b₁/(1-q)=243  ⇒

b₁=243*(1-q)

b₁+b₁q+b₁q²=b₁*(1+q+q²)=171    ⇒     b₁=171/(1+q+q²)

243*(1-q)=171/(1+q+q²)

(1-q)*(1+q+q²)=171/243

-(q-1)*(q²+q+1)=19/27  |×(-1)

(q-1)*(q²+q+1)=-19/27

q³-1=-19/27

q³=1-(19/27)=8/27

q=∛(8/27)=∛(2³/3³)=∛(2/3)³=2/3.     ⇒

b₁=243*(1-(2/3))=243*(1/3)=81.

Ответ: b₁=81.

Answer 3

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $a$, а знаменатель равен $q$. Тогда первые три члена этой прогрессии будут $a$, $aq$, $aq^2$, а сумма этих членов равна:

$$a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2) = 171$$

Также известно, что сумма всех членов прогрессии равна 243, что можно записать следующим образом:

$$\frac{a}{1-q} = 243$$

Мы получили два уравнения с двумя неизвестными ($a$ и $q$), которые можно решить методом подстановки, используя первое уравнение для нахождения $q$ и затем подставляя его во второе уравнение для нахождения $a$.

Решение:

Разделим обе стороны первого уравнения на $a$:

$$1 + q + q^2 = \frac{171}{a}$$

Выразим $q$ из первого уравнения:

$$q = \frac{243}{a} - 1$$

Подставим это выражение для $q$ во второе уравнение:

$$\frac{a}{1 - \left(\frac{243}{a} - 1\right)} = 243$$

Решаем это уравнение:

$$\frac{a^2}{244 - a} = 243$$

$$a^2 = 243(244 - a)$$

$$a^2 = 59172 - 243a$$

$$a^2 + 243a - 59172 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_{1,2} = \frac{-243 \pm \sqrt{243^2 + 4 \cdot 59172}}{2} \approx -240.32, 244.32$$

Так как первый член прогрессии не может быть отрицательным, то $a \approx 244.32$.

Таким образом, первый член искомой прогрессии равен примерно 244.32.