Question

Иследовать функцию на возрастание, максимум и минимум f(x)=2x^3 +9x^2 - 24x

Answer 1

F'(x)=6x^2+18x-24
6x^2+18x-24=0
D=324+576=900>0
x1=1 x2=-4
xmax=-4
xmin=1
возрастает (-∞;-4)∪(1;+∞)
убывает (-4;1)
Только на рисунке точки должны быть выколотые а не закрашенные

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию на возрастание, максимум и минимум, необходимо проанализировать ее производную.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = 6x^2 + 18x - 24

Теперь найдем корни производной: 6x^2 + 18x - 24 = 0 x^2 + 3x - 4 = 0 (x + 4)(x - 1) = 0

Таким образом, корни производной равны x = -4 и x = 1.

Составим таблицу знаков производной в интервалах:

x	-∞	-4	1	+∞
f'(x)	-	-	+	+

Из таблицы видно, что производная функции положительна на интервале (-∞, -4) и на интервале (1, +∞) и отрицательна на интервале (-4, 1). Это означает, что функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, -4) и (1, +∞) и убывает на интервале (-4, 1).

Теперь найдем экстремумы функции. Для этого найдем значения функции в точках, где производная равна нулю или не существует.

f'(-4) = 6*(-4)^2 + 18*(-4) - 24 = 0 f(1) = 21^3 + 91^2 - 24*1 = -13

Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке x = -4 (f(-4) = -64) и локальный минимум в точке x = 1 (f(1) = -13). Так как функция возрастает на интервале (-∞, -4) и на интервале (1, +∞), то глобальный минимум функции равен f(1) = -13.

Итак, мы получили следующие результаты:

• Функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, -4) и (1, +∞) и убывает на интервале (-4, 1).
• Функция имеет локальный максимум в точке x = -4 (f(-4) = -64) и локальный минимум в точке x = 1 (f(1) = -13).
• Глобальный минимум функции равен f(1) = -13.