Question

Решить неравенство: cos(2x+pi/6)<=-1/2

Answer 1

Надеюсь, что помогла.

Answer 2

Начнем с решения уравнения cos(2x + π/6) = -1/2. Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем переписать уравнение следующим образом:

cos(2x + π/6) = cos(2x)cos(π/6) - sin(2x)sin(π/6) cos(2x + π/6) = sqrt(3)/2 cos(2x) - 1/2 sin(2x)

Теперь мы можем решить это уравнение, используя методы решения тригонометрических уравнений. Для того, чтобы cos(2x + π/6) = -1/2, необходимо выполнение следующих условий:

sqrt(3)/2 cos(2x) - 1/2 sin(2x) = -1/2 sqrt(3) cos(2x) - sin(2x) = -1

Теперь введем новую переменную t = tan(x), тогда

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = (1 - t^2)^2 - 4t^2(1 - t^2) = 1 - 3t^2 + 4t^4 sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2t(1 - t^2)

Подставив выражения для cos(2x) и sin(2x) в уравнение sqrt(3) cos(2x) - sin(2x) = -1, получим:

sqrt(3)(1 - 3t^2 + 4t^4) - 2t(1 - t^2) = -1 4sqrt(3)t^4 - 3sqrt(3)t^2 - 2t - 1 = 0

Решив квадратное уравнение относительно t, получаем четыре решения:

t = (3sqrt(3) ± sqrt(27 - 16sqrt(3)))/8 t = (-3sqrt(3) ± sqrt(27 + 16sqrt(3)))/8

Теперь, чтобы получить решения исходного неравенства cos(2x + π/6) ≤ -1/2, необходимо проверить значения t на принадлежность интервалам, где cos(2x + π/6) меньше или равно -1/2.

Для этого заметим, что косинус имеет период 2π, а значит, для любого решения t, мы можем найти все соответствующие ему решения x в виде:

x = arctan(t) + kπ, где k - целое число.

Теперь рассмотрим интервалы, где cos(2x + π/6) меньше или равен -1/2. Они соответствуют интервалам, где cos(2x) меньше или равен -1/2cos(π/6) = -sqrt(3)/4