Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2xy*dy+dx=y^2*dx

Answer 1

2xydy+dx=y²dx
2xydy=y²dx-dx
2xydy=(y²-1)dx
dy *2y/(y²-1)=dx/x
переменные разделились, можно интегрировать независимо
∫2ydy/(y²-1)=∫dx/x
∫2ydy/(y²-1)=∫dy²/(y²-1)=∫d(y²-1)/(y²-1)=ln|y²-1| +C
∫dx/x=ln|x|+C

ln|y²-1|=ln|x|+C
ln|y²-1|=ln|Cx|
y²-1=Сх
y=√(Cx+1)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение не является линейным и не может быть решено стандартными методами. Однако, мы можем преобразовать его к уравнению в полных дифференциалах, используя интегрирующий множитель.

Попробуем найти интегрирующий множитель M(x,y), умножая обе части уравнения на некоторую функцию M(x,y):

scssCopy code
2xy M(x,y) dy + M(x,y) dx = y^2 M(x,y) dx

Заметим, что левая часть дифференциала содержит произведение x и y, а правая содержит только x. Это означает, что интегрирующий множитель должен зависеть только от x:

scssCopy code
M(x,y) = 1/x

Умножим обе части исходного уравнения на 1/x:

bashCopy code
2y dy/x + dx/x = y^2 dx/x^2

Теперь заметим, что левая часть является полным дифференциалом:

bashCopy code
d(y^2)/dx = 2y dy/dx
d(ln|x|)/dx = 1/x

Подставляя это в преобразованное уравнение, получаем:

scssCopy code
d(y^2)/dx + d(ln|x|) = 0

Интегрируем обе части:

scssCopy code
∫ d(y^2)/dx dx + ∫ d(ln|x|) dx = C
y^2 + ln|x| = C

Где С - произвольная постоянная. Это общее решение дифференциального уравнения.