Question

Решите неравенство: log_0,5(x-1)>-1 Пожалуйста с полным решением

Answer 1

$\log_{0.5}(x-1)>-1 \\ \log_{0.5}(x-1)+\log_{0.5}0.5>\log_{0.5}1$
ОДЗ: x-1>0; x>1
Так как 0<0.5<1, то функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный
$(x-1)0.5$

С учетом ОДЗ x ∈ (1;3)

Ответ: (1;3)

Answer 2

Для начала заметим, что функция логарифма определена только для положительных значений аргумента. Поэтому в данном случае необходимо, чтобы x - 1 было больше 0, то есть x > 1.

Теперь рассмотрим само неравенство:

log_0,5(x-1) > -1

Перепишем его в эквивалентной форме:

0,5^log_0,5(x-1) > 0,5^-1

2^(-log_0,5(x-1)) > 2

Возводим обе части неравенства в -1 степень:

2^log_0,5(x-1) < 1/2

x - 1 < 1/2

x < 3/2

Таким образом, мы получили условие для того, чтобы логарифм был определен и неравенство выполнялось одновременно: x > 1 и x < 3/2. Ответом на задачу будет интервал (1, 3/2).