Question

Решите неравенство с модулем (метод интервалов) |x^2-2x|>=3

Answer 1

[x²-2x≤-3⇒x²-2x+3≤0 нет решения D<0
[x²-2x≥3⇒x²-2x-3≥0⇒(x-3)(x+1)≥0⇒x≤-1 U x≥3
x∈(-∞;-1] U [3;∞)

Answer 2

Разбиваем неравенство на два случая:

1. |x^2 - 2x| >= 3, при x^2 - 2x >= 0

x(x - 2) >= 3

x^2 - 2x - 3 >= 0

(x - 3)(x + 1) >= 0

x <= -1 или x >= 3

2. |x^2 - 2x| >= 3, при x^2 - 2x < 0

-x^2 + 2x >= 3

-x^2 + 2x - 3 >= 0

(x - 1 - sqrt(4 - 4(-3)))(x - 1 + sqrt(4 - 4(-3))) <= 0

(x - 1 - 2sqrt(2))(x - 1 + 2sqrt(2)) <= 0

Таким образом, мы получаем три интервала, на которых неравенство выполняется:

x <= -1, x >= 3, и 1 - 2sqrt(2) <= x <= 1 + 2sqrt(2).

Таким образом, решением неравенства является объединение этих трех интервалов:

(-бесконечность, -1] U [1 - 2sqrt(2), 1 + 2sqrt(2)] U [3, +бесконечность).