Question

Решите систему уравнений x+y=П sinx+siny=-корень из 2

Answer 1

X+y=Π/2
x=Π/2-y
Подставим во второе уравнение
sin(Π/2-y)+siny=-√2
cosy+siny=-√2
cos^2y-2sinycosy+sin^2y=2
1-2sinycosy=2
-2sinycosy=1 | : на cos^2y
-2tgy=tg^2y+1
tg^2y+2tgy+1=0
Пусть t=tgy, где y не равно Π/2+Πk, k€Z
t^2+2t+1=0
D=4-4=0
t=-2-0/2=-1
вернёмся к замене
tgy=-1
y=-Π/4+Πn, n€Z
Зная y, найдём x:
x-Π/4+Πn=Π/2
x+Πn=3Π/4
x=3Π/4-Πn, n€Z
Ответ: 3Π/4-Πn; -Π/4+Πn, n€Z

Answer 2

К сожалению, данная система уравнений не имеет аналитического решения в закрытой форме. Можно решить ее численно с помощью метода Ньютона или метода простых итераций.

Для использования метода Ньютона необходимо представить данную систему уравнений в виде векторной функции f(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y)), где f1(x,y)=x+y-П, f2(x,y)=sinx+siny+корень из 2. Затем необходимо выбрать начальное приближение (x0,y0) и итерационно вычислять следующее приближение как (xn+1,yn+1)=(xn,yn)-J^-1(f(xn,yn)), где J - якобиан матрица функции f(x,y). Процесс итерации продолжается до достижения заданной точности.

Метод простых итераций заключается в последовательном выражении одной из переменных через другую и подстановке этого выражения во второе уравнение системы. Полученное уравнение решается относительно одной переменной, после чего выполняется обратная подстановка для нахождения значения другой переменной. Процесс повторяется до достижения заданной точности.

В обоих методах выбор начального приближения очень важен, поскольку от него зависит скорость сходимости и возможность достижения решения.