Question

Найдите такое наименьшее натуральное значение x, при котором функция y=x^2−4x−12 принимает положительное значение.

Answer 1

Функция - парабола. знак при $x^2$ положительный, значит ветви вверх и минимум находится в вершине.

Смотрим на точку вершины. $\displaystyle x_v = \frac{-b}{2a} = 2$ Соответствующее этой точке значение функции  $y = 2^2 -4*2-12 = -24$ отрицательное.

Значит первое положительное число будет после того, как ветви пересекут ось OX.

Найдем такие точки, приравняв функцию к 0

$x^2-4x-12 = 0\\D = 16+4*12 = 16+48 = 64 = 8^2\\\\\displaystyle x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2} = \left [ {{x_1=6} \atop {x_2=-2}} \right.$

Т.к. нам нужны только положительные значения, то корень $-2$ отбрасываем.

Следующее положительное число после 6 это 7, и значение функции будет $7^2 - 4*7-12 = 49-28-12 = 9 >0$

Answer 2

Для того чтобы функция y = x^2 - 4x - 12 принимала положительное значение, необходимо, чтобы ее график был выше оси x. Другими словами, необходимо найти наименьшее значение x, при котором функция пересекает ось x и начинает расти.

Сначала найдем вершину параболы, то есть точку с наибольшим или наименьшим значением y. Для этого необходимо найти x-координату вершины, которая равна x = -b/2a, где a = 1, b = -4.

x = -(-4) / 2(1) = 2

Теперь подставим найденное значение x в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

y = 2^2 - 4(2) - 12 = -8

Таким образом, наименьшее натуральное значение x, при котором функция y = x^2 - 4x - 12 принимает положительное значение, равно 3. При x = 3 функция принимает значение y = 3^2 - 4(3) - 12 = -3, которое уже положительное.