Question

первый член геометрической прогрессии равен 1 сумма третьего и пятого членов равен 90 найдете сумму первых пяти членов прогрессии.

Answer 1

Так как первый член прогрессии равен 1, формула для n-ного члена будет h^(n-1), где h - шаг (множитель) прогрессии. 

Третий член - это h^2 
Пятый член - это h^4 

Сумма 3-го и 5-го членов: 
h^2 + h^4 = 90 
Отсюда: 
h^2 * (1+h^2) = 90 
такое возможно только при h=3: 9*10=90 

Поэтому имеем прогрессию: 1, 3, 9, 27, 81, ..
Сумма 5-ти первых членов равна 121

Answer 2

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a и её знаменатель как q. Тогда:

первый член: a = 1

третий член: a*q^2

пятый член: a*q^4

Сумма третьего и пятого членов:

aq^2 + aq^4 = a*(q^2 + q^4) = aq^2(1 + q^2) = 90

Заметим, что aq^2 > 0, так как это произведение двух положительных чисел. Поэтому можно сократить aq^2 с обеих сторон уравнения:

1 + q^2 = 90 / (a*q^2)

Теперь можно найти значение знаменателя q:

q^2 = (90 / (aq^2)) - 1 = (90 / (1q^2)) - 1 = 89 / q^2

q^4 = (q^2)^2 = (89 / q^2)^2 = 7921 / (q^2)^2

Таким образом, пятый член:

a*q^4 = 1 * 7921 / (q^2)^2 = 7921 / 89

Теперь можно найти сумму первых пяти членов:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = a*(1 + q + q^2 + q^3 + q^4) =

= 1*(1 + q + q^2 + q^3 + 7921/89) = (89 + 89q + 89q^2 + 89q^3 + 7921) / 89 =

= (q^4 + q^3 + q^2 + q + 90) / q

Используя значение q^4, найденное ранее, получаем:

(7921/ (q^2)^2 + (89/q)^3 + (89/q)^2 + (89/q) + 90) / q =

= (7921/89 + 89q + 89q^2 + 89q^3 + 90q) / q =

= (89q^4 + 90q) / q = 89*(q^4 + 1) = 89*(89 + 1) = 7920.

Ответ: сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 7920.