Question

Пожалуйста!! Найдите наименьшее значение выражения x ^ 2 + y ^ 2-4y-2x

Answer 1

x²+y²-4y-2x=x²-2x+y²-4y=(x²-2x+1)+(y²-4y+4)-5=(x-1)²+(y-4)²-5

Так как (x-1)²≥0 и (y-4)²≥0 при любых x и y, то наименьшее значение -5.

Ответ: -5

Answer 2

Для нахождения минимального значения данного выражения можно воспользоваться методом завершения квадрата или методом частных производных.

Метод завершения квадрата: Начнем с преобразования выражения x^2 + y^2 - 4y - 2x: x^2 - 2x + y^2 - 4y = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 1 - 4 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5

Таким образом, минимальное значение будет достигаться при x = 1 и y = 2, и оно равно -5.

Метод частных производных: Вычислим частные производные данного выражения по x и y: d/dx (x^2 + y^2 - 4y - 2x) = 2x - 2 d/dy (x^2 + y^2 - 4y - 2x) = 2y - 4

Чтобы найти минимальное значение, приравняем обе производные к нулю: 2x - 2 = 0 2y - 4 = 0

Откуда получаем, что x = 1 и y = 2. Подставляем эти значения в исходное выражение: 1^2 + 2^2 - 42 - 21 = -5.

Таким образом, минимальное значение равно -5, и оно достигается при x = 1 и y = 2.