Question

Решите показательное уравнение 0,5^x²-5x⩽16​

Answer 1

$0,5^{x^{2}-5x }\leq16\\\\(\frac{1}{2})^{x^{2}-5x }\leq(\frac{1}{2})^{-4}\\\\x^{2} -5x\geq-4\\\\x^{2} -5x+4\geq0\\\\(x-4)(x-1)\geq 0$

       +                       -                        +

_________[1]__________[4]___________

//////////////////                         ///////////////////////

Ответ : x ∈ (- ∞ , 1] ∪ [4 ; + ∞)

Answer 2

Поясню моменты, которые могли оказаться непонятными:

1) я быстро раскладываю квадратный трёхчлен на множители, там теорема Виета в помощь (сумма корней равна пяти, произведение четырём) или дискриминант в крайнем случае

2) так же быстро решаю неравенство в последней строчке. Всё дело в том, что график функции y=x^2-5x+4 - парабола ветвями вверх, у функции два нуля, значит, она имеет знак + слева от меньшего её нуля и справа от большего. Можно также аккуратно подставлять и считать знаки на промежутках.

3) Ну и знак неравенства после соответствующего пояснения меняется в связи с тем, что основание степени (1/2) меньше одного, а значит большее значение аргумента соответствует меньшему значению функции.

Answer 3

Дано показательное уравнение:

0.5^(x^2 - 5x) ≤ 16

Перенесем 16 на левую сторону:

0.5^(x^2 - 5x) - 16 ≤ 0

Заметим, что левая часть является показательной функцией с основанием 0.5. Чтобы ее решить, применим логарифмирование по основанию 0.5 к обеим сторонам:

log₀.₅(0.5^(x^2 - 5x) - 16) ≤ 0

Теперь применим свойство логарифма, согласно которому log(a - b) = log(a) + log(1 - b/a), при условии, что b/a < 1:

log₀.₅(0.5^(x^2 - 5x)) + log₀.₅(1 - 16/0.5^(x^2 - 5x)) ≤ 0

Вычислим первый логарифм, используя свойство log(a^b) = b*log(a):

(x^2 - 5x) * log₀.₅(0.5) + log₀.₅(1 - 16/0.5^(x^2 - 5x)) ≤ 0

Заметим, что log₀.₅(0.5) = -1, поэтому получим:

(-x^2 + 5x) + log₀.₅(1 - 16/0.5^(x^2 - 5x)) ≤ 0

Для удобства заменим переменную x на t = x - 2.5. Тогда уравнение примет вид:

(-t^2 + 6.25) + log₀.₅(1 - 16/0.5^(t^2 - 6.25)) ≤ 0

Теперь заметим, что логарифм будет отрицательным только в том случае, если выражение в скобках меньше единицы. Значит, решение данного неравенства зависит от решения квадратного уравнения:

-t^2 + 6.25 = 1

-t^2 = -5.25

t^2 = 5.25

t = ±sqrt(5.25)

Итак, имеем два корня: t₁ = sqrt(5.25) ≈ 2.29 и t₂ = -sqrt(5.25) ≈ -2.29. Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

x₁ = 2.5 + sqrt(5.25) ≈ 4.79

x₂ = 2.5 - sqrt(5.25) ≈ 0.21

Ответ: x ∈ [0.21, 4.79].