Question

Решите уравнение 5sin^2x+2sinxcosx-cos^2x=1

Answer 1

5sin² x + 2sinx cosx - cos² x = sin² x + cos² x
5sin² x - sin² x + 2sinx cosx - cos²x - cos² x =0
4sin² x + 2sinx cosx - 2cos² x =0
2sin² x + sinx cosx - cos² x =0
2sin² x + sinx cosx   -   cos² x =     0   
cos² x       cosx cosx     cos²x     cos² x
2tg² x + tgx - 1 =0
Замена у=tgx
2y² +y -1 =0
D=1+8=9
y₁ = -1 -3 = -1
           4
y₂ = -1+3 =2/4 = 1/2
           4

При у= -1
tgx = -1
x= -π/4 + πk, k∈Z
 
При у=1/2
tgx= 1/2
x=arctg1/2 + πk, k∈Z

Ответ: -π/4 + πk,  k∈Z;
            arctg1/2 + πk, k∈Z.

Answer 2

Для начала, преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

5sin^2x + 2sinxcosx - cos^2x = 1

Перепишем sin^2x и cos^2x, используя основное тригонометрическое тождество:

5(1-cos^2x) + 2sinxcosx - cos^2x = 1

Раскроем скобки:

5 - 5cos^2x + 2sinxcosx - cos^2x = 1

6cos^2x - 2sinxcosx - 4 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cosx. Решим его, используя формулу квадратного уравнения:

cosx = (2sinx ± sqrt(4sin^2x + 96)) / 12

Упрощая:

cosx = (sinx ± sqrt(sin^2x + 24)) / 6

Теперь рассмотрим два случая: когда cosx положительный и когда отрицательный.

Когда cosx положительный:

cosx = (sinx + sqrt(sin^2x + 24)) / 6

Так как cosx = cos(x + 2πk) для любого целого числа k, то можно предположить, что:

sinx + sqrt(sin^2x + 24) = 6cos(x + 2πk)

Возведем обе части в квадрат:

sin^2x + sinx*sqrt(sin^2x + 24) + 24 = 36cos^2(x + 2πk)

Заменим sin^2x на 1 - cos^2x и упростим:

cos^4x - 6cos^2x + 5 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos^2x. Решим его, используя формулу квадратного уравнения:

cos^2x = (6 ± 2) / 2 = 2 или 3

Так как 0 <= cos^2x <= 1, то возможно только cos^2x = 2/3.

Тогда cosx = ±sqrt(2/3) и sinx = (6±2sqrt(2))/3.

Когда cosx отрицательный:

cosx = (sinx - sqrt(sin^2x + 24)) / 6

Аналогично предположим, что:

sinx - sqrt(sin^2x + 24) = 6cos(x + 2πk)

Возведем обе части в квадрат:

sin^2x - sinx*sqrt(sin^2x + 24) + 24 = 36cos^2(x + 2πk)

Заменим sin^2x на 1 - cos^2x и упростим:

cos^4x - 6cos^2x - 11 = 0

Это квадратное уравнение отно