Question

Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.

Answer 1

2=1+1  2=3-1

3=5-2 3=2+1

5=3+2    5=7-2

--------------------------

Ясно, что одно из простых чисел в сумме и разности это 2 (все остальные простые числа нечетны)

Больше нет троек простых чисел к, к+2, к+4. т.к. одно из этих чисел делится на 3 (действительно, если к=3м-1, то к+4 делится на 3, если к =3м-2, то к+2 делится на 3)

Ответ : 2,3,5

Answer 2

Пусть $p$ - простое число, которое является одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.

Таким образом, существуют простые числа $a$, $b$ и $c$, такие что:

$p = a + b = c - b.$

Отсюда следует, что $2b = c - a$.

Так как $c-a$ является четным числом (ведь это разность двух нечётных чисел), то $2b$ тоже является четным, что значит, что $b$ — простое число $2$.

Таким образом, $c = p + 2$.

Так как $p$ — простое число, то $p$ и $p+2$ могут быть простыми только в том случае, если $p=3$, иначе одно из них не будет простым числом.

Проверяем, что $3$ удовлетворяет нашим условиям:

$3 = 2 + 1 = 5 - 2$.

Таким образом, единственным простым числом, удовлетворяющим условию задачи, является $3$.