Question

СРОЧНО!!! Высота и медиана треугольника, проведенные к стороне 12 см, соответственно равны 4 см и 5 см. Найдите длину большей с 2 сторон

Answer 1

Ответ:

Смотри вложение)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства медиан в треугольнике.

Заметим, что медиана, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону пополам, а также делит площадь треугольника на две равные части.

Пусть $AB$ и $AC$ — стороны треугольника, к которым проведены медиана и высота соответственно, $AM$ — медиана, $AH$ — высота, $BC$ — искомая сторона.

Так как медиана делит сторону $BC$ пополам, то $BM=MC=\frac{1}{2}BC$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH$ имеем:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$

Подставляя известные значения, получим:

$$4^2 + BH^2 = AC^2$$

$$16 + BH^2 = AC^2$$

Также мы можем выразить площадь треугольника $ABC$ через длину медианы $AM$:

$$S_{ABC} = 2S_{ABM} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM = AM \cdot BM$$

Подставляя известные значения, получим:

$$S_{ABC} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot BC = 2BC$$

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ также можно выразить через длину высоты $AH$:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH$$

Подставляя известные значения, получим:

$$2BC = AC \cdot AH$$

Таким образом, у нас есть два уравнения:

$$16 + BH^2 = AC^2$$

$$2BC = AC \cdot AH$$

Мы хотим найти длину большей стороны треугольника, то есть $BC$. Решим систему уравнений относительно $BC$.

Из первого уравнения выразим $AC$:

$$AC = \sqrt{16 + BH^2}$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$2BC = \sqrt{16 + BH^2} \cdot 5$$

$$BC = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{16 + BH^2}$$

Таким образом, мы получили формулу для нахождения длины большей стороны треугольника. Вместо $BH$ подставляем $3$ (так как $AH=