Question

УМОЛЯЮ, помогите! Я уже бьюсь около 2ух часов, завтра спрашивать будут этот номер, а 2 как-то не хочется. Задание: Докажите справедливость равенства:tg(pi/16)+tg(3pi/16)+tg(pi/16)*tg(3pi/16)=1

Answer 1

Tg(pi/16)+tg(3pi/16)=1-tg(pi/16)*tg(3pi/16)
разделим левую часть на правую

(tg(pi/16)+tg(3pi/16))/(1-tg(pi/16)*tg(3pi/16))=1
в левой части формула
tg(pi/16+3pi/16)=1
tg(pi/4)=1
а это верно! то есть равенство справедливо

Answer 2

Для начала заметим, что:

tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a * tg b)

Применяя данное тождество к выражению tg(pi/16 + 3pi/16), получим:

tg(pi/16 + 3pi/16) = (tg pi/16 + tg 3pi/16)/(1 - tg pi/16 * tg 3pi/16)

Заметим также, что:

tg(pi/2 - x) = 1/tg x

Применяя данное тождество к выражению tg(pi/2 - pi/16), получим:

tg(pi/2 - pi/16) = 1/tg pi/16

Таким образом, мы можем выразить tg 3pi/16 через tg pi/16:

tg 3pi/16 = tg (pi/2 - pi/16) = 1/tg pi/16

Подставляя это выражение в исходное равенство, получаем:

tg pi/16 + tg 3pi/16 + tg pi/16 * tg 3pi/16

= tg pi/16 + 1/tg pi/16 + tg pi/16 * 1/tg pi/16

= tg^2 pi/16 + 1/tg^2 pi/16 + 2

Заметим, что:

tg^2 x + 1/tg^2 x = (tg^4 x + 1)/tg^2 x = (1 - 2cos 2x + cos^2 2x + sin^2 2x)/sin^2 2x = 2/sin^2 2x - 2cos 2x/sin^2 2x = 2(1 + tg^2 x)/sin^2 2x

Применяя данное тождество к выражению tg^2 pi/16, получим:

tg^2 pi/16 + 1/tg^2 pi/16 = 2(1 + tg^2 pi/16)/sin^2 (2 * pi/16) = 2(1 + tg^2 pi/16)/(2sin pi/8 * cos pi/8) = 2(1 + tg^2 pi/16)/(sin pi/4) = 4(1 + tg^2 pi/16)

Таким образом, мы можем переписать выражение tg^2 pi/16 + 1/tg^2 pi/16 + 2 следующим образом:

tg^2 pi/16 + 1/tg^2 pi/16 + 2 = 4(1 + tg^2 pi/16) + 2 = 2(2 + 4tg^2 pi/16)

Заметим также, что:

tg 2x = (2tg x)/(1 - tg^2 x)

Применяя данное тождество к выражению tg pi/8, получим:

tg pi/8 = (2tg pi/16)/(1 - tg^2 pi/16)

Таким образом, мы можем выразить 4tg^2 pi/16 через tg pi/8:

4tg^2 pi/16 = 4(tg pi/8)^2(1 - tg^2 pi/16