Question

Найти площадь треугольника построенного на векторах а=i-2j+5k и b=5j-7k

Answer 1

Ответ + решение: на фотографии

Answer 2

Для нахождения площади треугольника, построенного на векторах a и b, нужно вычислить половину векторного произведения этих векторов.

Векторное произведение a и b определяется следующим образом:

a x b = |a| |b| sin(θ) n,

где |a| и |b| - длины векторов a и b, θ - угол между a и b, а n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами a и b и указывающий в сторону, определенную правилом буравчика.

Длина вектора a равна:

|a| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 5^2) = sqrt(30)

Длина вектора b равна:

|b| = sqrt(0^2 + 5^2 + (-7)^2) = sqrt(74)

Угол между a и b можно найти, используя скалярное произведение:

a · b = 1*0 + (-2)5 + 5(-7) = -35

|a| |b| cos(θ) = a · b

cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|) = -35 / (sqrt(30) * sqrt(74))

θ = arccos(-35 / (sqrt(30) * sqrt(74))) ≈ 2.729 рад

Так как треугольник состоит из векторов a и b, то его высота, опущенная на вектор b, равна длине проекции вектора a на плоскость, образованную векторами a и b. Это можно найти как:

h = |a| sin(θ) = sqrt(30) sin(2.729) ≈ 3.998

Площадь треугольника равна:

S = (1/2) |b| h = (1/2) sqrt(74) * 3.998 ≈ 9.976

Итак, площадь треугольника, построенного на векторах a=i-2j+5k и b=5j-7k, равна примерно 9.976.