Question

1. Упростить уравнение функции y=x4+x41+x4+x4(1+x4)2+x4(1+x4)3+⋯ и найти ее значение, если x=3. 2. Укажи номер члена последовательности yn=13−n/5n+8, равного 5/48. очень срочно умоляю помогите

Answer 1

$x^{4}+\frac{x^{4}}{1+x^{4}}+\frac{x^{4} }{(1+x^{4})^{2}}+\frac{x^{4}}{(1+x^{4})^{3}}+...}=x^{4} (1+\frac{1}{1+x^{4}}+\frac{1}{(1+x^{4})^{2}}+\frac{1}{(1+x^{4})^{3}}+...)$

То что в скобках - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия в которой b₁ = 1 , а q = 1/(1+x⁴).

Найдём сумму этой прогрессии :

$S=\frac{b_{1} }{1-q} =\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^{4}}}=\frac{1}{\frac{1+x^{4}-1 }{1+x^{4}}}=\frac{1}{\frac{x^{4} }{1+x^{4}}}=\frac{1+x^{4} }{x^{4}}$

Следовательно :

$x^{4}+\frac{x^{4} }{1+x^{4}}+\frac{x^{4}}{(1+x^{4})^{2}}=\frac{x^{4} }{(1+x^{4})^{3}}+... =x^{4}*\frac{1+x^{4}}{x^{4}}=1+x^{4} \\\\x=3\\\\1+x^{4}=1+3^{4}=1+81=82\\\\Otvet:\boxed{82}$

2)

$y_{n}=\frac{13-n}{5n+8}\\\\y_{n}=\frac{5}{48}\\\\\frac{13-n}{5n+8}=\frac{5}{48}\\\\48(13-n)=5(5n+8)\\\\624-48n=25n+40\\\\-48n-25n=40-624\\\\-73n=-584\\\\n=8\\\\Otvet:\boxed{n=8}$

Answer 2

1. Дана функция y = x^4 + x^4/(1+x^4) + x^4/(1+x^4)^2 + x^4/(1+x^4)^3 + ... Можно заметить, что каждый следующий член функции равен предыдущему, умноженному на x^4/(1+x^4). Таким образом, можно записать: y = x^4 (1 + 1/(1+x^4) + 1/(1+x^4)^2 + 1/(1+x^4)^3 + ...) Заметим, что в скобках стоит геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 1/(1+x^4). Таким образом, сумма этой геометрической прогрессии равна: 1 / (1 - 1/(1+x^4)) = 1 + x^4. Подставляем это значение в выражение для y и получаем: y = x^4 (1 + x^4) = 3^4 * (1 + 3^4) = 3645.

Ответ: y = 3645.

2. Дана последовательность y_n = (1/3)^n - n/(5n+8). Найдем номер члена последовательности, равного 5/48. Записываем уравнение: (1/3)^n - n/(5n+8) = 5/48 Переносим n/(5n+8) в правую часть: (1/3)^n = 5/48 + n/(5n+8) Замечаем, что правая часть убывает с ростом n, а левая - возрастает. Значит, уравнение имеет единственное решение. Подставляем в уравнение каждое значение n по очереди, начиная с n=1, и находим такое n, при котором левая часть становится больше 5/48. Тогда искомый член последовательности будет иметь номер n-1. Получаем: n=1: (1/3)^1 - 1/(51+8) = 0.0267 > 5/48 n=2: (1/3)^2 - 2/(52+8) = 0.0152 > 5/48 n=3: (1/3)^3 - 3/(53+8) = 0.0094 < 5/48 Значит, y_2 = (1/3)^2 - 2/(52+8) = 0.0152, и это и есть искомый член последовательности.

Ответ: номер члена последовательности, равного 5/48, равен 2.