Question

Как найти интегралы  1. ʃcos^3(x) / sin^2(x) dx                                           2. ʃx*sin^2(x^2) dx                                           3. ʃe^x*cos^2(e^x) dx

Answer 1

 

$\int{x\cdot sin^2(x^2)}\, dx=\int{x\cdot \frac{1-cos(2x^2)}{2}}\, dx=\frac{1}{2}\int{x(1-cos(2x^2))}\, dx= \\ =\frac{1}{2}\int{(x-xcos(2x^2))}\, dx=\frac{1}{2}(\int{x}\, dx-\int{xcos(2x^2)}\, dx)=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}- \\ -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\int{cos(2x^2)}\, d(2x^2)=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{8}sin(2x^2)+C,$

 

$\int{e^x\cdot cos^2(e^x)}\, dx=\int{e^x\cdot \frac{1+cos(2e^x)}{2}}\, dx= \\ =\frac{1}{2}\int{e^x(1+cos(2e^x))}\, dx=\frac{1}{2}\int{(e^x+e^xcos(2e^x))}\, dx= \\ \frac{1}{2}(\int{e^x}\, dx+\int{e^xcos(2e^x)}\, dx)=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int{cos(2e^x)}\, d(2e^x)= \\ =\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{4}sin(2e^x)+C.$

Answer 2

1. Для решения интеграла ʃcos^3(x) / sin^2(x) dx можно воспользоваться заменой переменной. Пусть t = sin(x), тогда dt/dx = cos(x) и dx = dt / cos(x). Заменяя выражения для cos(x) и sin(x) через t, получим интеграл:

ʃcos^3(x) / sin^2(x) dx = ʃcos^2(x) / sin^2(x) * cos(x) dx = ʃ(1 - sin^2(x)) / sin^2(x) * cos(x) dx = ʃ(1/sin^2(x) - 1) * cos(x) dx = ʃ(csc^2(x) - 1) * cos(x) dx = -cot(x) - x + C,

где C - произвольная постоянная.

2. Интеграл ʃx*sin^2(x^2) dx можно решить методом интегрирования по частям. Пусть u = x, dv = sin^2(x^2) dx, тогда du/dx = 1, v = 1/2 * x * (1/2 * sin(2x^2) + 1/2), и получим:

ʃx*sin^2(x^2) dx = 1/2 * x * (1/2 * sin(2x^2) + 1/2) - ʃ(1/2 * sin(2x^2) + 1/2) dx = 1/4 * x * sin(2x^2) - 1/2 * x - 1/4 * cos(2x^2) + C,

где C - произвольная постоянная.

3. Для решения интеграла ʃe^x*cos^2(e^x) dx можно воспользоваться заменой переменной. Пусть t = e^x, тогда dt/dx = e^x и dx = dt/t. Заменяя выражения для e^x и cos(e^x) через t, получим интеграл:

ʃe^x*cos^2(e^x) dx = ʃcos^2(t) dt/t = 1/2 * ʃ(1 + cos(2t)) dt/t = 1/2 * (ln(t) + 1/2 * sin(2t)) + C = 1/2 * (ln(e^x) + 1/2 * sin(2e^x)) + C = 1/2 * (x + 1/2 * sin(2e^x)) + C,

где C - произвольная постоянная.