Question

Номер (1) Докажите, что а) 47^23-47^22 делится на 23 б) 437^438-1 делится на 4 Номер (2) Число n кратно 5. Докажите, что 4n^2-20n кратно 50 Помогите пожалуйста.

Answer 1

 a) 47^23-47^22 = 47^22(47-1) = 47^22*2*23 то есть делится на 23 
 b) 437^438-1 = (109*4+1)^438-1  значит открывая скобки будем получать число кратное всегда кратное 4 (бином Ньютона), кроме 1 , значит 437^n дает остаток равный 1 при делений на 4, значит 437^438-1 делится на 4. 
  
 n=5x 
 4n^2-20n=4n(n-5)=20x(5x-5) = 100x(x-1)=50*A то есть делится на 50 

Answer 2

Номер (1)

а) Для того чтобы доказать, что 47^23 - 47^22 делится на 23, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) - 1 делится на p.

В данном случае, p=23, а=47. Так как 47 и 23 - взаимно простые числа, то 47^22 не делится на 23. Следовательно, 47^23 - 47^22 делится на 47 - 1 = 46, которое делится на 23:

scssCopy code
47^23 - 47^22 = 47^22 * (47 - 1) = 46 * 47^22

46 и 23 взаимно просты, следовательно, 47^23 - 47^22 делится на 23.

б) Для того чтобы доказать, что 437^438 - 1 делится на 4, мы можем заметить, что 437 = 4 * 109, то есть 437 кратно 4. Также заметим, что 437^438 - 1 = (4 * 109)^438 - 1.

Теперь мы можем воспользоваться биномом Ньютона и раскрыть скобки:

scssCopy code
(4 * 109)^438 = 4^438 * 109^438 = (2^2)^438 * 109^438 = 2^876 * 109^438

Таким образом,

Copy code
437^438 - 1 = 2^876 * 109^438 - 1

Поскольку 2^2 = 4, то можно заметить, что 2^876 делится на 4, а значит, и произведение 2^876 * 109^438 делится на 4. Следовательно, 437^438 - 1 также делится на 4.

Номер (2)

Если n кратно 5, то мы можем записать n в виде n = 5k, где k - целое число. Тогда

scssCopy code
4n^2 - 20n = 4 * (5k)^2 - 20 * 5k = 100k(2k - 1)

Мы заметили, что 4n^2 - 20n можно записать в виде произведения 100k и (2k - 1). Поскольку n кратно 5, то k - целое число, и 2k - 1 будет нечётным целым числом.

Таким образом, (2k - 1) делится на 2, а 100k делится на 50. Значит, произведение 100k(2k - 1) кратно 50.

Мы доказали, что 4n^2 - 20n кратно 50, если n кратно 5.