Question

5sin^2 x-2sin x cos x+cos^2 x=4 помогите пж, с решением

Answer 1

5sin²x-2sinxcosx+cos²x-4sin²x-4cos²x=0
sin²x-2sinxcosx-3cos²x/cos²x
tg²x-2tgx-3=0
tgx=a
a²-2a-3=0
a1+a2=2 U a1*a2=-3
a1=-1⇒tgx=-1⇒x=-π/4+πn,n∈z
a2=3⇒tgx=3⇒x=arctg3+πk,k∈z   

Answer 2

Начнем с преобразования левой части уравнения:

5sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x = (sin^2 x + cos^2 x) + 4sin^2 x - 2sin x cos x - sin^2 x = 1 + 4sin^2 x - 2sin x cos x - sin^2 x = 1 + 3sin^2 x - 2sin x cos x

Теперь мы можем переписать исходное уравнение в новом виде:

1 + 3sin^2 x - 2sin x cos x = 4

Вычтем 1 из обеих сторон:

3sin^2 x - 2sin x cos x = 3

Теперь мы можем использовать формулу тригонометрии для синуса двойного угла:

sin 2x = 2sin x cos x

Заменяем sin x cos x на (1/2) sin 2x:

3sin^2 x - 2(1/2)sin 2x = 3

Упрощаем:

3sin^2 x - sin 2x = 3

3(2sin^2 x - 1) - sin 2x = 0

6sin^2 x - 3 - sin 2x = 0

sin 2x = 6sin^2 x - 3

Теперь мы можем заменить sin 2x на 2sin x cos x:

2sin x cos x = 6sin^2 x - 3

2cos x = 6sin x - 3/sin x

Умножим обе стороны на sin x:

2cos x sin x = 6sin^2 x - 3sin x

2sin x cos x = 3(2sin^2 x - sin x)

2sin x cos x = 3sin x(2sin x - 1)

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. sin x = 0

В этом случае cos x может быть любым значением, так как уравнение выполняется при sin x = 0, а cos x не участвует в уравнении. Таким образом, решение для этого случая - x = kπ, где k - целое число.

2. sin x ≠ 0

Делим обе стороны на 3sin x:

2sin x cos x/3sin x = 2/3 cos x = 2sin x - 1

2/3 cos x + 1 = 2sin x

4/9 cos^2 x + 4/3 cos x + 1 = 4sin^2 x

4/9 cos^2 x + 4/3 cos x + 1 = 4(1 - cos^2 x)

4cos^2 x + 12cos x + 5 = 0

Решаем квадратное уравнение:

cos x = (-12 ± √(12^2 - 445)) / (2*4) = (-3 ± √14)/2

Таким образом, мы получили два корня