Question

СРОЧНО!!! ДАММС 50БАЛЛОВ Докажите тождество 1+tg (П/2-a)*ctg (2П-a)*cos (3П/2+a)*tg (2П+a)=2sin^2a/2

Answer 1

Решение во вложенииииииииииииииииииииииииииииииииии

Answer 2

Для начала, заметим, что в левой части уравнения у нас есть несколько тригонометрических функций, включая тангенс, котангенс и косинус. Чтобы перейти к правой части уравнения, мы можем попробовать заменить эти функции на другие тригонометрические функции, используя тригонометрические тождества.

Начнем с тангенса. Мы можем использовать тождество тангенса половинного угла, чтобы заменить тангенс на синус и косинус:

$\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right) = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sin a}{\cos a}$

Затем, мы можем заменить котангенс на синус и косинус, используя тождество котангенса:

$\cot(2\pi-a) = -\cot a = -\frac{\cos a}{\sin a}$

Наконец, мы можем заменить косинус на синус, используя тождество косинуса дополнения:

$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right) = -\sin a$

Подставляя все эти замены в исходное уравнение, получим:

$\begin{aligned} &1+\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cot(2\pi-a)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)\tan(2\pi+a) \\ &= 1 + \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \left(-\frac{\cos a}{\sin a}\right) \cdot (-\sin a) \cdot \tan(2\pi+a) \\ &= 1 + (-1) \cdot \tan(2\pi+a) \\ &= 1 - \tan(2\pi+a) \\ &= 1 - \frac{\sin(2\pi+a)}{\cos(2\pi+a)} \\ &= 1 - \frac{\sin a}{\cos a} \\ &= \frac{\cos a - \sin a}{\cos a} \\ &= \frac{\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} \\ &= 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right) \\ &= 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right) \\ &= 2\sin^2\frac{a}{2} \end{aligned}$

Таким образом, мы доказали, что

$1+\tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cot(2\pi-a)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)\tan(2\pi+a) = 2\sin^2\frac{a}{2}$

что и требов