Question

Докажите,не применяя калькулятор .что значение выражения 81^5+4*3^18-3^17  делится на 19. 

Answer 1

81^5+4*3^18-3^17 =3^20+4*3^18-3^17=3^17(3^3+4*3-1)=3^17(27+12-1)=2*19*3^17
 делится на 19.
 

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение более подробно:

81^5 + 4 * 3^18 - 3^17

Заметим, что 81 = 3^4, поэтому мы можем переписать первое слагаемое в следующем виде:

(3^4)^5 + 4 * 3^18 - 3^17

Возводя степень в степень, мы умножаем показатели степеней, поэтому:

3^(4 * 5) + 4 * 3^18 - 3^17

3^20 + 4 * 3^18 - 3^17

Теперь давайте рассмотрим это выражение по модулю 19. Мы хотим показать, что оно делится на 19, то есть остаток от деления равен 0.

Для этого воспользуемся некоторыми свойствами арифметики по модулю.

Сначала рассмотрим 3^20. Заметим, что 3^18 - это 3^2, возведенное в квадрат. Таким образом, мы можем переписать 3^20 следующим образом:

3^20 = (3^18)^1 * 3^2 = (3^2)^9 * 3^2 = 9^9 * 3^2

Затем рассмотрим (9^9 * 3^2) по модулю 19. Мы можем применить малую теорему Ферма, которая утверждает, что если a и p взаимно просты (т.е. не имеют общих делителей), то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

В нашем случае 9 и 19 взаимно просты, поэтому:

9^18 ≡ 1 (mod 19)

Подставляя это обратно в выражение, получаем:

9^9 * 3^2 ≡ 1 * 3^2 (mod 19) ≡ 9 (mod 19)

Теперь вернемся к исходному выражению:

3^20 + 4 * 3^18 - 3^17 ≡ 9 + 4 * 9 - 3^17 (mod 19)

Остается рассмотреть последнее слагаемое 3^17. Воспользуемся снова малой теоремой Ферма:

3^18 ≡ 1 (mod 19)

Тогда:

3^17 = 3^18 / 3 ≡ 1 / 3 ≡ 13 (mod 19)

Теперь подставим обратно в исходное выражение:

9 + 4 * 9 - 3^17 ≡ 9 + 4 * 9 - 13 (mod 19)

9 + 36 - 13 ≡ 9 + 17 - 13 ≡ 26 - 13 ≡ 0 (mod 19)

Так