Question

Найти экстремум функции: Z=x^3+8y^2-6xy+1

Answer 1

Вычислим производные по x и y, приравняем к нулю: $\left \{ {{3 x^{2}-6y=0 } \atop {16y-6x=0}} \right. \left \{ {{y=0} \atop {x=0}} \right. \left \{ {{y= \frac{9}{32} } \atop {x= \frac{3}{4} }} \right.$; Z''xx=6x=A; z'yy=16=C; z''xy=-6=B; считаем дискриминант: АС-В^2=96x-36; Подставляем найденное значение (0;0): D=-36<0 не экстремум; при (3/4; 9/32) D>0 значит эта точка - экстремум(минимум).

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти её частные производные по каждой из переменных и приравнять их к нулю, затем найти точки, в которых это происходит, и проверить, является ли каждая из них экстремумом.

Найдем частные производные функции Z(x,y):

∂Z/∂x = 3x^2 - 6y ∂Z/∂y = 16y - 6x

Приравнивая обе частные производные к нулю, получим систему уравнений:

3x^2 - 6y = 0 16y - 6x = 0

Решая систему, найдем две стационарные точки:

x = 0, y = 0 x = 4/3, y = 2/3

Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, необходимо проанализировать знаки вторых частных производных:

∂^2Z/∂x^2 = 6x ∂^2Z/∂y^2 = 16 ∂^2Z/∂x∂y = -6

В точке (0,0):

∂^2Z/∂x^2 = 0, ∂^2Z/∂y^2 = 16, ∂^2Z/∂x∂y = -6

Матрица Гессе функции в этой точке имеет вид:

H = |0 -6| |-6 16|

Она отрицательно определена, так как определитель равен 36, а след равен 16, а значит, эта точка является точкой максимума.

В точке (4/3,2/3):

∂^2Z/∂x^2 = 8, ∂^2Z/∂y^2 = 16, ∂^2Z/∂x∂y = -6

Матрица Гессе функции в этой точке имеет вид:

H = |8 -6| |-6 16|

Она является положительно определенной, так как определитель равен 108, а след равен 24, а значит, эта точка является точкой минимума.

Таким образом, мы получили, что точка (0,0) является точкой максимума функции, а точка (4/3,2/3) - точкой минимума функции.