Question

Принемая вероятность рождения мальчика равно 0,51 найти вероятность того, что среди 5 новорожденных а) 4мальчика б) не более двух девочек.

Answer 1

P = 0.51 - вероятность рождения мальчика
q = 1-p = 1-0.51 = 0.49 - вероятность рождения девочки
n = 5 - количество всех исходов
а.
к = 4 - количество благоприятных исходов. 
Решаем по схеме Бернулли ( из n испытаний) 
$P_{k} =C ^{k}_{n} *p ^{k} *q ^{n-k} =C ^{4} _{5}*0.51 ^{4} *0.49=0.15$
б.
к < 1- количество благоприятных исходов. 

$P _{k}(\ \textless \ 2)=1-P _{k}(1)-P _{k}(2)$
$P_{k}(1) =C ^{1} _{5}*0.51 *0.49^{4} =5*0.51*0.06=0.153$
$P_{k}(2) =C ^{2} _{5}*0.51 ^{2} *0.49^{3} =5*0.26*0.12=0.156$
$P _{k}(\ \textless \ 2)=1-0.153-0.156=0.691$

Answer 2

а) Для нахождения вероятности того, что среди 5 новорожденных будет 4 мальчика, можно воспользоваться формулой Бернулли. Для этого нужно умножить вероятность рождения мальчика на количество способов, которыми можно выбрать 4 мальчиков из 5 детей, и на вероятность рождения девочки в оставшемся случае:

$P(\text{4 мальчика}) = \binom{5}{4}(0.51)^4(0.49)^1 \approx 0.2016$

Тут $\binom{5}{4}$ - это количество способов выбрать 4 мальчиков из 5 детей.

б) Чтобы найти вероятность того, что среди 5 новорожденных не более двух девочек, можно просуммировать вероятности всех сочетаний, когда родится 0, 1 или 2 девочки.

$P(\text{не более 2 девочек}) = P(\text{0 девочек}) + P(\text{1 девочка}) + P(\text{2 девочки})$

Вероятность рождения $k$ девочек из 5 детей можно найти по формуле Бернулли, а количество сочетаний можно найти с помощью биномиального коэффициента:

$P(k\text{ девочки}) = \binom{5}{k}(0.49)^{5-k}(0.51)^k$

Тогда:

$P(\text{не более 2 девочек}) = \binom{5}{0}(0.49)^5(0.51)^0 + \binom{5}{1}(0.49)^4(0.51)^1 + \binom{5}{2}(0.49)^3(0.51)^2 \approx 0.8872$

Здесь мы умножили каждую вероятность на соответствующий биномиальный коэффициент, чтобы учесть количество способов выбрать $k$ девочек из 5 детей.