Question

Прошу чётко объяснить как правльно отбирать корни на тригонометрической окружности.(С1)

Answer 1

удобнее нарисовать круг, и выделить промежуток, который указан в задании. потом смотреть пренадлежность каждого корня промежутку.

можно вместо значения количества кругов подставлять число, считать и смотреть опять же пренадлежность промежутку. например х=П/2+2Пк, вот вместо к подставляешь числа, к примеру -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и т.д. 

 

Answer 2

Отбор корней на тригонометрической окружности осуществляется следующим образом:

1. Необходимо записать уравнение на тригонометрическую окружность в виде $x^2+y^2=1$, где $x$ и $y$ - координаты точки на окружности.

2. Выразить синус и косинус угла, соответствующего искомому корню, через координаты этой точки. Если искомый угол имеет меру $\alpha$, то $\cos\alpha=x$, а $\sin\alpha=y$.

3. Если искомый корень является n-м корнем из числа $z$, то его множитель будет иметь вид $z^{1/n}$. Например, если искомый корень является квадратным корнем из числа $z$, то его множитель будет иметь вид $\pm\sqrt{z}$.

4. Для отбора корней на тригонометрической окружности нужно найти все углы, соответствующие искомым корням. Это можно сделать, используя формулу де Муавра:

$(\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)$

где $i$ - мнимая единица.

Таким образом, все n корней из числа $z$ будут иметь вид:

$\sqrt[n]{z}(\cos(\frac{\alpha+2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\alpha+2k\pi}{n}))$

где $k=0,1,2,...,n-1$.

Для отбора только действительных корней нужно выбирать только те значения $k$, которые соответствуют действительным значениям корня.

Например, если искомый корень является кубическим корнем из числа $z$, то его множитель будет иметь вид:

$\sqrt[3]{z}(\cos(\frac{\alpha+2k\pi}{3})+i\sin(\frac{\alpha+2k\pi}{3}))$

Для получения только действительных корней нужно выбрать значения $k$, равные 0 и 2:

$\sqrt[3]{z}\cos(\frac{\alpha}{3}), \quad \sqrt[3]{z}\cos(\frac{\alpha+4\pi}{3})$

Таким образом, правильный отбор корней на тригонометрической окружности требует использования формулы де Муавра для нахождения всех корней и выбор только тех, которые соответствуют действительным значениям корня.