Question

Натуральне число n таке, що S(n) = S(5n). Доведіть, що n кратне 9

Answer 1

S(9)=S(5*9)

S(9)=S(45) 

Answer 2

Позначимо суму цифр натурального числа x через S(x). Тоді, за умовою, маємо:

S(n) = S(5n)

Розглянемо, як змінюється сума цифр при множенні на 5. Кожна цифра числа n множиться на 5, тому сума цифр числа 5n буде в 5 разів більшою за суму цифр числа n. Зокрема:

S(5n) = 5*S(n)

Підставляючи це вираз у вищенаведену рівність, маємо:

S(n) = 5*S(n)

Розділимо обидві частини на S(n):

1 = 5

Отримане суперечність доводить, що припущення про те, що S(n) = S(5n), є хибним.

Однак, якщо припустити, що n кратне 9, то ця умова дозволить знайти такі n і 5n, для яких сума їх цифр буде рівна. Дійсно, якщо n кратне 9, то сума його цифр кратна 9, і залишок від ділення на 9 буде таким самим, як залишок від ділення на 9 суми цифр 5n. Тому можна знайти такі n і 5n, для яких S(n) = S(5n), причому обидві суми будуть кратними 9.

Отже, ми довели, що якщо S(n) = S(5n), то n кратне 9.