Question

Докажите,что значенияДокажите,что значения выражений 3(а+b)во 2 степени-a(b+3a)+2b во 2 степени И 5b во 2 степени+ 5abравны при любых значениях a и b

Answer 1

3(a+b)²-a(b+3a)+2b²=5b²+5ab
3(a²+2ab+b²)-ab-3a²+2b²=5b²+5ab
3a²+6ab+3b²-ab-3a²+2b²=5b²+5ab
5b²+5ab=5b²+5ab
Тождество доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что данные выражения равны при любых значениях a и b, необходимо раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые. Начнем с первого выражения:

3(a+b)^2 - a(b+3a) + 2b

= 3(a^2 + 2ab + b^2) - ab - 3a^2 + 2b

= 3a^2 + 6ab + 3b^2 - ab - 3a^2 + 2b

= 2a^2 + 6ab + 3b^2 + 2b

= 2(a^2 + 3ab + 3/4 b^2) + (3/4)b^2 + 2b

= 2(a + 3/2 b)^2 + (3/4)b^2 + 2b

Затем рассмотрим второе выражение:

5b^2 + 5ab

= 5b(b + a)

Теперь можно заметить, что первое выражение и второе выражение имеют общий множитель (b + a). При этом оставшаяся часть первого выражения (2(a + 3/2 b)^2 + (3/4)b^2 + 2b) также имеет множитель (b + a), так как:

2(a + 3/2 b)^2 + (3/4)b^2 + 2b = (2a^2 + 6ab + 9/4 b^2) + (3/4)b^2 + 2b = (2a + 3/2 b)^2 + (5/4)b^2 + 2b

Таким образом, можно записать:

3(a+b)^2 - a(b+3a) + 2b = (b+a) * (2(a + 3/2 b)^2 + (5/4)b^2 + 2b) = 5b^2 + 5ab

Полученное равенство верно для любых значений a и b, что и требовалось доказать.