Question

Помогите решить. дифференциальное уравнение первого порядка. найти общее решение ур-я. y'=(y^2/x^2)-3(y/x)+11

Answer 1

$y'=\frac{y^2}{x^2}-3 \cdot \frac{y}{x}+11 \\\\u= \frac{y}{x} \; ,\; y=ux\; ,\; y=u'x+u\\\\u'x+u=u^2-3u+11\\\\u'x=u^2-4u+11\\\\\frac{du}{dx}= \frac{u^2-4u+11}{x} \\\\ \int \frac{du}{u^2-4u+11} = \int \frac{dx}{x} \\\\\int \frac{du}{(u-2)^2+7}=\int \frac{dx}{x} \\\\\frac{1}{\sqrt7}\cdot arctg \frac{u-2}{\sqrt7} =ln|x|+C\\\\\frac{1}{\sqrt7}\cdot arctg \frac{\frac{y}{x}-2}{\sqrt7} =ln|x|+C\\\\\frac{1}{\sqrt7}\cdot arctg \frac{y-2x}{x\sqrt7} =ln|x|+C$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка, можно воспользоваться методом вариации постоянной.

Шаг 1: Представим решение уравнения в виде y = ux, где u - неизвестная функция.

Шаг 2: Вычислим производные y' и y'' в новых переменных:

y' = u'x + u, y'' = u''x + 2u'.

Шаг 3: Подставим y' и y'' в исходное уравнение и проведем упрощение:

u'x + u = (u^2/x^2) - 3(u/x) + 11.

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на x^2:

x^2u'x + x^2u = u^2 - 3ux + 11x^2.

Шаг 5: Перепишем уравнение в виде:

x^2u'x + 3ux - u^2 = 11x^2.

Шаг 6: Заметим, что полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции u.

Шаг 7: Решим это уравнение. Поскольку оно линейно, можно воспользоваться методом вариации постоянной.

Представим решение u в виде u = Cx^n, где C - постоянная, а n - показатель степени.

Шаг 8: Вычислим производные u' и u'':

u' = Cnx^(n-1), u'' = Cn(n-1)x^(n-2).

Шаг 9: Подставим u, u' и u'' в исходное уравнение и проведем упрощение:

x^2(Cnx^(n-1))x + 3(Cx^n) - (Cx^n)^2 = 11x^2.

Cnx^(n+1) + 3Cx^n - C^2x^(2n) = 11x^2.

Шаг 10: Разделим уравнение на x^n:

Cnx^2 + 3C - C^2x^n = 11x^2/x^n.

Cnx^2/x^n + 3C/x^n - C^2 = 11x^(2-n).

C + 3C/x^n - C^2 = 11x^(2-n).

Шаг 11: Поскольку левая часть не зависит от x, а правая часть зависит от x только в виде степени, обе части должны быть постоянными.

Шаг 12: Поставим равенство равных констант:

C + 3C/x^n - C^2 = K,

где K - некоторая константа.

Шаг 13: Решим полученное квадратное уравнение