Question

Можно ли на ребрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному числу в каждом ребре) так, чтобы сумма чисел на трёх ребрах, выходящих из одной вершины, была одной и той же для каждой вершины куба? Если да то привести пример. Если нет то доказать почему

Answer 1

Допустим, что такая расстановка возможна. Заметим, что каждое из чисел от 1 до 12 участвует дважды в суммах, образуемых числами на трех ребрах, поскольку каждое ребро соединяет две вершины. Подсчитаем поэтому общую сумму, образуемых всеми числами после расстановки их на ребрах. Она равна 2*(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 12) = 2*78 = 156. Поскольку у нас всего 8 вершин, то для того, чтобы все 8 сумм были одинаковы, 156 должно быть кратно 8, но это не так. Следовательно приходим к противоречию и такая расстановка невозможна. 

Answer 2

Нет, невозможно расставить числа от 1 до 12 на ребрах куба так, чтобы сумма чисел на трех ребрах, выходящих из одной вершины, была одинаковой для каждой вершины куба. Это можно доказать следующим образом:

Предположим, что такая расстановка чисел возможна. Обозначим сумму чисел на трех ребрах, выходящих из вершины A, как S. Также обозначим суммы чисел на ребрах, выходящих из остальных вершин, как S1, S2, ..., S8.

Каждая вершина куба соединена с тремя другими вершинами ребрами. Рассмотрим вершину B, соединенную с вершиной A одним из ребер. Сумма чисел на трех ребрах, выходящих из вершины B, должна быть равна S, так как она соединена с вершиной A одним из ребер. То же самое верно и для остальных вершин куба.

Теперь рассмотрим вершину C, которая соединена с вершинами A и B ребрами. Сумма чисел на трех ребрах, выходящих из вершины C, должна быть равна S + S (из вершины A) + S (из вершины B) = 3S. Аналогично, для всех остальных вершин, соединенных ребрами с вершинами A и B, сумма чисел на трех ребрах будет равна 3S.

Таким образом, если такая расстановка чисел возможна, то для каждой вершины куба сумма чисел на трех ребрах, выходящих из нее, должна быть равна 3S. Однако, сумма чисел от 1 до 12 равна 78, что не делится на 3 без остатка. Следовательно, невозможно расставить числа от 1 до 12 на ребрах куба таким образом, чтобы сумма чисел на трех ребрах, выходящих из одной вершины, была одинаковой для каждой вершины куба.