Question

№1 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4x+4 и y=4-x^2 №2 2.Вычислить предел(по лопиталю) lim x->П/4  (1/cos^2x-2Tgx)/1+cos4x  

Answer 1

Найдем пределы интегрирования

x^2-4x+4=4-x^2

2x^2-4x=0

x^2-2x=0

x= или x=2

S= интеграл от 0 до 2 (-x^2+4-x^2+4x-4)dx=(-2x^3)/3+(4x^2)/2=-16/3+8=8/3 см.кв

Answer 2

№1: Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий и затем интегрировать функцию между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения линий y = x^2 - 4x + 4 и y = 4 - x^2. Для этого приравняем два уравнения:

x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2

2x^2 - 4x = 0

2x(x - 2) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Теперь вычислим площадь фигуры, интегрируя функцию между этими точками:

S = ∫[0, 2] (x^2 - 4x + 4 - (4 - x^2)) dx

S = ∫[0, 2] (2x^2 - 4x) dx

S = [2/3 * x^3 - 2x^2] [0, 2]

S = (2/3 * 2^3 - 2 * 2^2) - (2/3 * 0^3 - 2 * 0^2)

S = (16/3 - 8) - (0 - 0)

S = (16/3 - 8)

S = 16/3 - 24/3

S = -8/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 4 и y = 4 - x^2, равна -8/3.

№2: Чтобы вычислить данный предел с использованием правила Лопиталя, необходимо произвести дифференцирование числителя и знаменателя предела, и затем вычислить предел отношения полученных производных, если он существует.

Для данного предела:

lim(x→π/4) (1/cos^2x - 2tanx)/(1 + cos4x)

Начнем с дифференцирования числителя и знаменателя:

Numerator: d/dx (1/cos^2x - 2tanx) = (0 - 2sec^2x) / cos^4x = -2sec^2x / cos^4x

Denominator: d/dx (1 + cos4x) = 0 - 4sin4x = -4sin4x

Теперь вычислим предел отношения производных, используя полученные выражения:

lim(x→π/4) (-2sec^2x / cos^4x) / (-4sin4x)

Подставим x = π/4 в полученные производные:

(-2sec^2(π/4) / cos