Question

(1-i)^2/(1+i)^4 тригонометрическую форму

Answer 1

(1-i)^2/(1+i)^4 тригонометрическую формуРешение

Упростим числитель и знаменатель дроби отдельно
(1-i)² =1-2i+i²=1-2i-1=-2i
$(1+i)^4=((1+i)^2)^2=(1+2i+i^2)^2=(1+2i-1)^2=(2i)^2=-4$

$\frac{(1-i)^2}{(1+i)^4}= \frac{-2i}{-4}= \frac{i}{2}$

Алгебраическая форма записи комплексного числа
 z=a+bi
Тригонометрическая форма записи числа
z= r(cosα+isinα)
где  $r= \sqrt{a^2+b^2}$
cosa =a/r
sina=b/r
В нашем случае
a=0;  b=1/2
$r= \sqrt{0^2+( \frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}$
cosa =0/(1/2)=0
sina=(1/2)/(1/2)=1
a=arcsin(1)=π/2
Поэтому можно записать
z=(1/2)isin(π/2)

Answer 2

Давайте раскроем числитель и знаменатель и приведем выражение к тригонометрической форме.

Начнем с числителя:

(1 - i)^2 = (1 - i)(1 - i) = 1 - i - i + i^2 = 1 - 2i + i^2.

Теперь займемся знаменателем:

(1 + i)^4 = (1 + i)(1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + 2i + i^2)(1 + 2i + i^2)(1 + 2i + i^2)(1 + 2i + i^2).

Заметим, что i^2 = -1. Подставим это значение и упростим:

(1 + 2i + i^2)(1 + 2i + i^2)(1 + 2i + i^2)(1 + 2i + i^2) = (1 + 2i - 1)(1 + 2i - 1)(1 + 2i - 1)(1 + 2i - 1) = (2i)(2i)(2i)(2i) = 16i^4 = 16(-1) = -16.

Теперь можем выразить исходное выражение в тригонометрической форме:

(1 - i)^2 / (1 + i)^4 = (1 - 2i + i^2) / (-16) = (1 - 2i - 1) / (-16) = (-2i) / (-16) = i / 8.

Таким образом, выражение (1 - i)^2 / (1 + i)^4 в тригонометрической форме равно i / 8.