Question

Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Answer 1

Выведем уравнение для стороны BC:

3=k+b
0=4k+b

3=-3k
b=3-k

k=-1
b=4

y=-x+4 - уравнение стороны BC

Выведем уравнение для стороны AD:
сторона AD параллельна стороне BC, т.е. имеет тот же угол наклона:
y=-x+b
по координатам точки A определим b:
2=1+b
b=1

y=-x+1 - уравнение стороны AD

Выведем уравнение для высоты BK:
сторона AD имеет угол наклона arctg(-1)=135 градусов
высота BK имеет угол наклона 135-90=45 градусов:
y=x*tg45+b
у=х+b
по координатам точки В определим b:
3=1+b
b=2

y=x+2 - уравнение высоты BK

определим координаты точки пересечения AD и BK (точки K):
-x+1=x+2
2x=-1
x=-1/2=-0,5
y=-0,5+2=1,5
вычислим длину высоты BK (примечание: sqrt - квадратный корень):
BK=sqrt((3-1,5)^2+(1+0,5)^2)= sqrt(1,5^2+1,5^2)=sqrt(2,25+2,25)=sqrt(4,5)

Выведем уравнение для стороны AB:

2=-k+b
3=k+b

2b=5
k=3-b

b=5/2
k=1/2

b=2,5
k=0,5

y=0,5x+2,5 - уравнение стороны AB

вычислим угол ABK:
BK имеет угол наклона 45 градусов
AB имеет угол наклона arctg(0,5)
tg(ABK)=tg(45-arctg(0,5))=(tg45+tgarctg(0,5))/(1-tg45*tgarctg(0,5))=(1+0,5)/(1-0,5)=3
угол ABK составляет arctg3 градусов

Выведем уравнение для диагонали BD:
диагональ BD имеет угол наклона (90+arctg3) градусов:
y=x*tg(90+arctg3)+b
по координатам точки B определим b:
3=tg(90+arctg3)+b
b=3-tg(90+arctg3)

y=x*tg(90+arctg3)+3-tg(90+arctg3)
y=3+(x-1)tg(90+arctg3) - уравнение диагонали BD

Выведем уравнение для диагонали AC:

2=-k+b
0=4k+b

5k=-2
b=2+k

k=-2/5
b=8/5

k=-0,4
b=1,6

y=-0,4x+1,6 - уравнение диагонали АС
угол наклона диагонали АС составляет arctg(-0,4)=-arctg(0,4) градусов

угол между диагоналями BD и AC: 90+arctg3+arctg(0,4)
тангенс найденного угла: tg(90+arctg3+arctg(0,4))

косинус угла B параллелограмма: cos(90+arctg3)=cos90*cosarctg3-sin90*sinarctg3=0-sinarctg3=-sinarctg3

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства параллелограмма.

1. Для нахождения уравнения стороны AD мы можем использовать формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Две последовательные вершины параллелограмма А(1;2) и В(-2;1) будут лежать на стороне AD. Используя эти точки, можем найти уравнение прямой AD.

Для этого вычислим угловой коэффициент прямой:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

m = (1 - 2) / (-2 - 1) = -1/3

Используем точку A(1;2) и уравнение прямой:

y - y1 = m(x - x1)

y - 2 = (-1/3)(x - 1)

Упростим это уравнение:

3y - 6 = -x + 1

x + 3y = 7

Таким образом, уравнение стороны AD: x + 3y = 7.

2. Чтобы найти уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD, нужно найти координаты точки K. Так как BK перпендикулярна AD, она будет проходить через середину стороны AD. Середина стороны AD может быть найдена как среднее арифметическое координат вершин A и D.

Координаты вершины A: (1, 2) Координаты вершины D: (x, y)

Середина стороны AD: ((1 + x) / 2, (2 + y) / 2)

Так как BK перпендикулярна AD, ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным к угловому коэффициенту AD. Таким образом, угловой коэффициент BK будет 3.

Используем точку B(-2;1) и уравнение прямой:

y - y1 = m(x - x1)

y - 1 = 3(x + 2)

Упростим это уравнение:

3x - y - 5 = 0

Таким образом, уравнение высоты BK: 3x - y - 5 = 0.

3. Длина высоты BK может быть найдена как расстояние между точкой B и прямой AD. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Где A, B и C - коэфф