Question

доказать что для любого натурального числа n значение выражения (n + 2) (n+ 3) - (n + 6) (n - 1) делится на 12.

Answer 1

N^2+3n+2n+6-n^2+n-6n+6
n^2 скорочується
3n,2n,n і -6n скорочуються
6+6
12
12 в любому випадку ділиться на 12:)

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение $(n + 2)(n + 3) - (n + 6)(n - 1)$ делится на 12 для любого натурального числа n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая.

При n = 1: $(1 + 2)(1 + 3) - (1 + 6)(1 - 1) = 3 \cdot 4 - 7 \cdot 0 = 12 - 0 = 12$ 12 делится на 12, поэтому базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции.

Предположим, что для некоторого натурального числа k выражение $(k + 2)(k + 3) - (k + 6)(k - 1)$ делится на 12.

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если предположение индукции верно для k, то оно также верно для k + 1.

Раскроем скобки и упростим выражение $(k + 2)(k + 3) - (k + 6)(k - 1)$: $(k + 2)(k + 3) - (k + 6)(k - 1) = k^2 + 5k + 6 - (k^2 - k - 6) = k^2 + 5k + 6 - k^2 + k + 6 = 6k + 12$

Мы видим, что результат выражения не зависит от k, так как $k^2$ и $-k^2$ взаимно сокращаются, а также $5k$ и $k$ взаимно сокращаются. Это означает, что любое значение k влияет только на линейный член $6k$, который делится на 6.

Теперь рассмотрим выражение $6k + 12$:

$6k + 12 = 6(k + 2)$

Здесь мы видим, что выражение делится на 6. Также 12 делится на 2. Таким образом, произведение $(k + 2)(k + 3) - (k + 6)(k - 1)$ делится на 6 и 2, следовательно, оно делится на их произведение 12.

Шаг 4: Заключение.

Из базового случая и индукционного перехода следует, что для любого натурального числа n выражение $(n + 2)(n + 3) - (n + 6)(n - 1)$ делится на 12.