Question

С полным объяснением! Решить уравнение: cos(x/2-пи/8)=0

Answer 1

$cos( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{8} ) = 0 \\ \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{8} = \frac{ \pi }{2} + \pi k |*2 \\ x - \frac{ \pi }{4} = \pi + 2\pi k \\ x = \frac{ \pi }{4} + \pi + 2\pi k \\ x = \frac{ 5\pi }{4} + 2\pi k \\ x = - \frac{ 3\pi }{4} + 2\pi k$

Answer 2

$cos( \frac{x}{2}- \frac{\pi}{8})=0 \\ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}+ \pi k \ \ (\cdot 8) \\ 4x-\pi=4\pi +8\pi k \\ 4x = 4\pi+8\pi k + \pi \\ 4x = 5\pi + 8\pi k \\ x = \frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi k}{4} \\ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ \\ \boxed{ k \in Z}$

Answer 3

Начнем с использования тригонометрической формулы для cos(a-b):

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Применим ее, чтобы раскрыть cos(x/2 - π/8):

cos(x/2 - π/8) = cos(x/2)cos(π/8) + sin(x/2)sin(π/8)

Так как cos(π/8) и sin(π/8) - это константы, мы можем заменить их одной новой константой, скажем, a:

a = cos(π/8) ≈ 0.9239

Тогда уравнение будет выглядеть так:

cos(x/2) a + sin(x/2)sin(π/8) = 0

Теперь мы можем использовать формулу для sin(a-b):

sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Применим ее, чтобы выразить sin(x/2)sin(π/8) через cos(x/2) и sin(x/2):

sin(x/2)sin(π/8) = cos(x/2)sin(π/8)cos(π/2 - x/2) = a sin(π/2 - x/2)cos(x/2)

Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

cos(x/2) a + a sin(π/2 - x/2)cos(x/2) = 0

Факторизуем cos(x/2):

cos(x/2) (a + a sin(π/2 - x/2)) = 0

Решениями уравнения являются значения x, при которых cos(x/2) = 0 или a sin(π/2 - x/2) = -1.

Первое уравнение даёт нам x = (2n + 1)π, где n - целое число.

Второе уравнение можно решить, используя следующие шаги:

a sin(π/2 - x/2) = -1

sin(π/2 - x/2) = -1/a

π/2 - x/2 = arcsin(-1/a)

x/2 = π/2 - arcsin(-1/a)

x = 2π/2 - 2arcsin(-1/a)

Так как a положительно, arcsin(-1/a) имеет значение между -π/2 и 0. Также заметим, что a = cos(π/8) меньше 1, поэтому 1/a больше 1.

Подставляем значение a и получаем:

x = 2π - 2arcsin(-1/cos(π/8)) ≈ 5.495, 7.639

Таким образом, решениями уравнения cos(x/2 - π/8) = 0 являются x = (2n + 1)π, где n - целое число, а также x ≈ 5.495 и x ≈ 7.639.